Привести заданную квадратичную форму к нормальному виду и найти преобразование неизвестных

Предмет:

Линейная алгебра (возможно, с элементами аналитической геометрии).

Раздел:

Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому (нормальному) виду.

Задание:

Необходимо привести заданную квадратичную форму к нормальному виду и найти преобразование неизвестных. Это стандартная процедура для работы с квадратичными формами, которая предполагает диагонализацию квадратичной формы или использование метода Якоби.

Шаги решения:

Квадратичная форма \( f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 - x_2x_3 \).

1. Определение матрицы квадратичной формы:

   Запишем квадратичную форму в виде:

   \[ f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]

   Важно, что в данном случае присутствуют только смешанные члены, таких как \( x_1x_2 \) и \( x_2x_3 \), что означает, что матрица квадратичной формы имеет элементы вне главной диагонали. Поскольку квадратичная форма состоит только из смешанных членов (то есть слагаемых типа \( x_ix_j \), где \( i \neq j \)), то имеет место следующая структура:

   \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \]

2. Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы:

   Для того чтобы привести форму к нормальному виду, нужно найти собственные значения матрицы \( A \). Это означает решение уравнения:

   \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

   Для нашего случая:

   \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\lambda \end{pmatrix} \]

   Найдём определитель:

   \[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \left( - \lambda \times (-\lambda) - (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) \right) - 1 \times \left( -\lambda \times (-\frac{1}{2}) - 0 \times 1 \right) \]

   \[ = -\lambda \left( \lambda^2 - \frac{1}{4} \right) - \lambda \times (-\frac{1}{2}) \]

   Решаем это уравнение для \( \lambda \), чтобы найти собственные значения системы. Решив это уравнение, можно будет составить диагонализированную форму и найти соответствующее преобразование для приведения функции к нормальному виду.

Процесс решения требует полноценного нахождения собственных значений и собственных векторов, после чего форма переводится в диагональный вид.