Привести заданную квадратичную форму к каноническому виду с помощью линейного невырожденного преобразования

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду.

Задание состоит в том, чтобы привести заданную квадратичную форму к каноническому виду с помощью линейного невырожденного преобразования.

Шаг 1: Записать квадратичную форму.

На основе примера из изображения, первая квадратичная форма выглядит так: \[ x_1x_2 - 3x_2x_3 \]

Шаг 2: Построить матрицу квадратичной формы.

Квадратичная форма имеет вид: \[ Q(x) = x^T A x \]

В данном случае квадратичная форма зависит от переменных \( x_1, x_2, x_3 \). Запишем ее как: \[ Q(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 - 3x_2x_3 \]

Соответствующую симметричную матрицу \( A \) можно записать следующим образом: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} \]

Так как квадратичная форма содержит только попарные произведения \( x_1x_2 \) и \( x_2x_3 \), все элементы вне данных пар равны нулю, а для коэффициентов при \( x_1x_2 \) и \( x_2x_3 \) они делятся поровну между симметричными элементами матрицы.

Шаг 3: Найти собственные значения и собственные векторы.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \). Найдем характеристический многочлен матрицы \( A \): \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

Для этого вычислим определитель матрицы \( A - \lambda I \), где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения.

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} \]

Найдем определитель этой матрицы: \[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \left( \lambda^2 - \frac{9}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( - \frac{3}{2} \lambda \right) = 0 \]

Решаем это уравнение: \[ -\lambda(\lambda^2 - \frac{9}{4}) + \frac{1}{2} \cdot -\frac{3}{2} \lambda = 0 \]

После решения уравнения получаем собственные значения: \[ \lambda_1 = 0, \, \lambda_2 = \frac{3}{2}, \, \lambda_3 = -\frac{3}{2} \]

Шаг 4: Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Теперь заменим переменные с помощью диагонализации матрицы \( A \). Квадратичная форма примет следующий вид: \[ Q(y_1, y_2, y_3) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 \]

Подставив найденные значения \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \), получаем: \[ Q(y_1, y_2, y_3) = 0 \cdot y_1^2 + \frac{3}{2} y_2^2 - \frac{3}{2} y_3^2 \]

Таким образом, канонический вид квадратичной формы: \[ Q(y_1, y_2, y_3) = \frac{3}{2} y_2^2 - \frac{3}{2} y_3^2 \]

Шаг 5: Линейное невырожденное преобразование.

Замена переменных осуществляется через собственные векторы матрицы \( A \). Точнее, производим замену \( x_1, x_2, x_3 \) на новые переменные \( y_1, y_2, y_3 \), которые свяжем с собственными векторами диагонализированной матрицы. Полученные переменные \( y_i \) дадут нам окончательный канонический вид квадратичной формы.