Привести выражение к полному квадрату

Это задача из предмета математика, раздел алгебра, тема — квадратные уравнения и преобразования выражений. В ней нужно привести данное выражение к полному квадрату. Разберем решение по частям.

1. Задача: Преобразовать выражение x^2 - 2x в полный квадрат.

Чтобы превратить выражение \( x^2 - 2x \) в полный квадрат, нужно найти недостающее слагаемое. Воспользуемся формулой квадрата двучлена: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

В данном случае \( x^2 - 2x \) можно рассматривать как два первых слагаемых квадрата. Не хватает третьего слагаемого \( b^2 \), которое находится следующим образом:

• Коэффициент при \( x \): \(-2\). Мы делим его на 2: \(-2 \div 2 = -1\).
• Возводим результат в квадрат: \((-1)^2 = 1\).

Добавим \( 1 \) и одновременно вычтем \( 1 \), чтобы выражение не изменилось: \[ x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 \]

Итак, полный квадрат для \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Теперь занимаемся уравнением \( y + 5x^2 - 10x - 3 = 0 \).

Основная цель — выразить \( y \) через полный квадрат.

Для этого выделим полный квадрат в части, содержащей \( x \): \[ 5x^2 - 10x = 5(x^2 - 2x) \]

Применяем результат из пункта 1: \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

Подставим это в уравнение: \[ 5x^2 - 10x = 5((x - 1)^2 - 1) \]

Раскрываем скобки: \[ 5x^2 - 10x = 5(x - 1)^2 - 5 \]

Теперь подставим это в исходное уравнение: \[ y + [5(x - 1)^2 - 5] - 3 = 0 \]

Упростим: \[ y + 5(x - 1)^2 - 8 = 0 \]

Выразим \( y \): \[ y = -5(x - 1)^2 + 8 \]

3. Ответ.

• Полный квадрат для выражения \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]
• Уравнение \( y + 5x^2 - 10x - 3 = 0 \) принято к полной квадратной форме: \[ y = -5(x - 1)^2 + 8 \]

Это конечный результат.