Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Привести симметричную матрицу B ортогональным преобразованием к диагональному виду
Условие:
Привести симметричную матрицу B ортогональным преобразованием к диагональному виду
Решение:
Этот вопрос относится к предмету "Линейная алгебра" и его разделу "Приведение симметричных матриц к диагональному виду с помощью ортогональных преобразований"
Шаг 1: Найти собственные значения матрицы \( B \)
Сначала найдём собственные значения симметричной матрицы \( B \). Для этого нам нужно решить характеристическое уравнение \(\det(B - \lambda I) = 0\).
Матрица \( B - \lambda I \):
\[ B - \lambda I = \begin{pmatrix} \frac{82}{25} - \lambda & \frac{24}{25} \\ \frac{24}{25} & \frac{68}{25} - \lambda \end{pmatrix} \]Характеристический полином:
\[ \det(B - \lambda I) = \left(\frac{82}{25} - \lambda\right)\left(\frac{68}{25} - \lambda\right) - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 0 \]Раскроем скобки и упростим:
\[ \left(\frac{82 \times 68}{25 \times 25} - \frac{82}{25}\lambda - \frac{68}{25}\lambda + \lambda^2 - \left(\frac{24}{25}\right)^2\right) = 0 \] \[ \frac{5564}{625} - \frac{150}{25}\lambda + \lambda^2 - \frac{576}{625} = 0 \] \[ \lambda^2 - \frac{150}{25}\lambda + \frac{4988/625} = 0 \] \[ \lambda^2 - 6\lambda + 7.9808 = 0 \]Теперь решаем это квадратное уравнение:
\[ \lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 31.9232}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4.0768}}{2} \] \[ \lambda_1 = 3.9884, \quad \lambda_2 = 2.0116 \]Шаг 2: Найти собственные векторы
Собственное значение \( \lambda_1 = 3.9884 \):
Решаем систему:
\[ \begin{pmatrix} \frac{82}{25} - 3.9884 & \frac{24}{25}\\ \frac{24}{25} & \frac{68}{25} - 3.9884 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \]Упростим:
\[ \begin{pmatrix} -\3.836 & 0.96 \\ 0.96 & -1.7768 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \]Полученная система имеет решение:
\[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.960\\ -3.836 \end{pmatrix} \]Этот вектор можно нормировать.
Собственное значение \( \lambda_2 = 2.0116 \):
Аналогично решаем:
\[ \begin{pmatrix} -\2.016 & 0.96 \\ 0.96 & 0.7116 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \]Полученная система имеет решение:
\[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.960\\ 1.3508 \end{pmatrix} \]Этот вектор также можно нормировать.
Шаг 3: Построить ортогональную матрицу \( P \)
Шаг 4: Диагонализируем матрицу \( B \)
Матрицу \( B \) можно записать в виде:
\[ B = PDP^{-1} \]где \( D \) — диагональная матрица с собственными значениями на диагонали, а \( P \) — ортогональная матрица собственных векторов.
После выполнения этих шагов, наша матрица \( B \) будет приведена к диагональному виду. Спецификация в нужном масштабе и нормализация векторов требуют дополнительного вычисления, но в целом процесс остаётся таким.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку