Привести симметричную матрицу B ортогональным преобразованием к диагональному виду

Условие:

Привести симметричную матрицу B ортогональным преобразованием к диагональному виду

Решение:

Этот вопрос относится к предмету "Линейная алгебра" и его разделу "Приведение симметричных матриц к диагональному виду с помощью ортогональных преобразований". ### Шаг 1: Найти собственные значения матрицы \( B \) Сначала найдём собственные значения симметричной матрицы \( B \). Для этого нам нужно решить характеристическое уравнение \(\det(B - \lambda I) = 0\). Матрица \( B - \lambda I \): \[ B - \lambda I = \begin{pmatrix} \frac{82}{25} - \lambda & \frac{24}{25} \\ \frac{24}{25} & \frac{68}{25} - \lambda \end{pmatrix} \] Характеристический полином: \[ \det(B - \lambda I) = \left(\frac{82}{25} - \lambda\right)\left(\frac{68}{25} - \lambda\right) - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 0 \] Раскроем скобки и упростим: \[ \left(\frac{82}{25} - \lambda\right)\left(\frac{68}{25} - \lambda\right) - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 0 \] \[ \left(\frac{82 \times 68}{25 \times 25} - \frac{82}{25}\lambda - \frac{68}{25}\lambda + \lambda^2 - \left(\frac{24}{25}\right)^2\right) = 0 \] \[ \frac{5564}{625} - \frac{150}{25}\lambda + \lambda^2 - \frac{576}{625} = 0 \] \[ \lambda^2 - \frac{150}{25}\lambda + \frac{4988}{625} = 0 \] \[ \lambda^2 - 6\lambda + 7.9808 = 0 \] Теперь решаем это квадратное уравнение: \[ \lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 31.9232}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4.0768}}{2} \] \[ \lambda_1 = 3.9884, \quad \lambda_2 = 2.0116 \] ### Шаг 2: Найти собственные векторы Для каждого найденного собственного значения находим соответствующий собственный вектор. #### Собственное значение \(\lambda_1 = 3.9884\): Решаем систему: \[ \begin{pmatrix} \frac{82}{25} - 3.9884 & \frac{24}{25}\\ \frac{24}{25} & \frac{68}{25} - 3.9884 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \] Упростим: \[ \begin{pmatrix} -\3.836 & 0.96 \\ 0.96 & -1.7768 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \] Полученная система имеет решение: \[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.960\\ -3.836 \end{pmatrix} \] Этот вектор можно нормировать. #### Собственное значение \(\lambda_2 = 2.0116\): Аналогично решаем: \[ \begin{pmatrix} -\2.016 & 0.96 \\ 0.96 & 0.7116 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \] Полученная система имеет решение: \[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.960\\ 1.3508 \end{pmatrix} \] Этот вектор также можно нормировать. ### Шаг 3: Построить ортогональную матрицу \( P \) Собственные векторы нормируем и создаём матрицу \( P \), составленную из этих векторов. ### Шаг 4: Диагонализируем матрицу \( B \) Матрицу \( B \) можно записать в виде: \[ B = PDP^{-1} \] где \( D \) — диагональная матрица с собственными значениями на диагонали, а \( P \) — ортогональная матрица собственных векторов. После выполнения этих шагов, наша матрица \( B \) будет приведена к диагональному виду. Спецификация в нужном масштабе и нормализация векторов требуют дополнительного вычисления, но в целом процесс остаётся таким.