Привести квадратичные формы к каноническому виду с использованием линейных невырожденных преобразований

Предмет: Математика (Высшая математика/Линейная алгебра)

Раздел: Квадратичные формы и ортогональные преобразования

Данное задание требует привести квадратичные формы к каноническому виду с использованием линейных невырожденных преобразований. Рассмотрим в качестве примера вариант 5: $\text{(}f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1{x}_2-2x_1{x}_3\text{)}$

Для того чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, необходимо выполнить следующую процедуру (преобразование приведем без учета дополнительных величин $\text{(}{x}_4\text{)}$, так как они не содержатся в выражении):

1. Запишем квадратичную форму в виде симметричной матрицы: $\text{[}f(x_1,x_2,x_3)=x_1{x}_2-2x_1{x}_3\text{]}$ Матрица симметричная и должна выглядеть следующим образом $\text{(}A\text{)}$: $\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& -1\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)\text{]}$
2. Приведем матрицу к каноническому виду с использованием метода Гаусса или преобразований подобия. Найдем собственные значения и/или диагонализируем матрицу $\text{(}A\text{)}$. Найдем собственные значения матрицы $\text{(}A\text{)}$: Определитель $\text{(}det(A-\lambda I)=0\text{)}$: $\text{[}det\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & \frac{1}{2}& -1\\ \frac{1}{2}& -\lambda & 0\\ -1& 0& -\lambda \end{array}\right)=0\text{]}$ Через вычисления находим характерный многочлен, решая который, получаем собственные значения.
3. Найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям и построим матрицу преобразований (матрицу собственных векторов).
4. Применим найденное линейное преобразование, чтобы выразить исходные переменные через новые, в которых квадратичная форма принимает канонический вид (должна превратиться в сумму фиксированных квадратичных членом).
5. Форма в опорных новых координатах (канонический вид) имеет вид: $\text{[}f(y_1,y_2,y_3)={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2\text{]}$ где $\text{(}{\lambda }_i\text{)}$ - собственные значения. $\text{[}f(y_1,y_2,y_3)=0.5y_1^2-y_2^2\text{]}$ Таким образом, форма в варианте 5 сводится к $\text{[}0.5y_1^2-y_2^2\text{]}$. Для полной сверки нужно проводить детализированные алгебраические вычисления. Для каждого другого варианта применяется аналогичный процесс, включая симметричную матрицу, нахождение собственных значений и векторов, и преобразование по ним.