Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задание: Привести квадратичную форму \( f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 - x_2x_3 \) к нормальному виду и найти соответствующее линейное преобразование переменных.
Нужно найти нормальный вид квадратичной формы и определить линейное преобразование над полем действительных чисел \( \mathbb{R} \), которое приводит квадратичную форму к этому виду.
Данная квадратичная форма: \[ f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 - x_2x_3. \]
В этой форме отсутствуют квадратичные члены (вида \(x_i^2\)), но присутствуют смешанные произведения \(x_ix_j\) (члены с произведениями разных переменных).
Квадратичная форма может быть представлена с помощью симметричной матрицы \( A \):
\[ f(x_1, x_2, x_3) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \]
где \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \), а \( A \) — матрица.
Форма включает только элементы \(x_1x_2\) и \(x_2x_3\), поэтому можно положить, что элементы матрицы пропорциональны коэффициентам при этих произведениях.
\[ 2x_1x_2 = 2 \cdot \frac{1}{2}(x_1x_2 + x_2x_1), \quad -x_2x_3 = \frac{1}{2}(-x_2x_3 - x_3x_2). \]
Итак, \( A \) должна быть симметричной. Для данной формы матрица \( A \) будет следующей:
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}. \]
Мы должны привести квадратичную форму к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования, то есть найти собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \).
Собственные значения вычисляются из уравнения:
\[ \det(A - \lambda I) = 0, \]
где \( I \) — единичная матрица:
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\lambda \end{pmatrix}. \]
Найдем определитель:
\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \left( (-\lambda)^2 - \left( -\frac{1}{2} \right)^2 \right) - 1 \cdot (-\lambda (-\frac{1}{2})) = \lambda^3 - \frac{3}{4} \lambda - \frac{1}{2}. \]
Решим уравнение:
\[ \lambda^3 - \frac{3}{4}\lambda - \frac{1}{2} = 0. \]
Приблизительные корни: \( \lambda_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \lambda_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \lambda_3 = 0 \).
Найдем собственные векторы для каждого собственного значения, что позволит записать квадратичную форму в виде суммы квадратов после ортогонального преобразования.
Преобразовав форму таким образом, мы получим следующую эквивалентную форму квадратичной функции:
\[ f(y_1, y_2, y_3) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2. \]
Нормальный вид квадратичной формы после приведенного преобразования будет иметь диагональный вид, где коэффициенты — это собственные значения матрицы \( A \).