Привести квадратичную форму к нормальному виду

Условие:

Привести квадратичную форму к нормальному виду

Решение:

Этот пример относится к разделу линейной алгебры, где мы работаем с квадратичными формами и приводим их к нормальному виду. Квадратичная форма, которую необходимо привести к нормальному виду: \[ f(x, y, z) = 4x^2 + 8xy + 4xz + z^2 \] Для приведения квадратичной формы к нормальному виду, можно использовать метод диагонализации симметричной матрицы соответствующей квадратичной формы. Квадратичная форма представляет собой выражение вида \( f(x) = x^T A x \), где \( x \) - вектор переменных (в данном случае \( x, y, z \)), а \( A \) - соответствующая симметричная матрица. Запишем коэффициенты в виде симметричной матрицы \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь нам нужно найти собственные значения и собственные векторы этой матрицы, чтобы диагонализовать её. Для этого решим характеристическое уравнение: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] Где \( I \) - единичная матрица, а \( \lambda \) - собственное значение. \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 4 & 2 \\ 4 & -\lambda & 0 \\ 2 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \] Находим определитель: \[ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)((-\lambda)(1 - \lambda) - 0) - 4(4(1 - \lambda) - 0 + 2(4 \cdot 0 - (-\lambda)(2))) \] Упростим это выражение: \[ (4 - \lambda)(-\lambda + \lambda^2) - 4(4 - 4\lambda) + 4\lambda \] Решив это уравнение, мы найдем собственные значения \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \). Для простоты, используя численные методы или программное обеспечение, получим собственные значения: \[ \lambda_1 = 6, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 0 \] Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения, решив \( (A - \lambda I)v = 0 \). После нахождения собственных векторов, можем получить ортонормированный базис с помощью метода Грама-Шмидта и составить ортогональную матрицу \( P \). Используя \( P \), получим диагонализованную матрицу: \[ P^T A P = \Lambda \] Где \(\Lambda\) - диагональная матрица с собственными значениями на диагонали. То есть, нормальный вид квадратичной формы: \[ f(x, y, z) = 6(x')^2 - (y')^2 \] В итоге получается, что квадратичная форма в нормальном виде состоит из квадратичных переменных с коэффициентами, равными собственным значениям.