Привести к наличному виду задач линейного программирования

Условие:

Привести к наличному виду задач линейного программирования: Z(X)= x1-x2+3x3-> max

Решение:

Это задание относится к линейному программированию, которое является разделом математического анализа и теории оптимизации. Цель задачи состоит в том, чтобы привести данную задачу линейного программирования к канонической форме. 1. Каноническая форма задачи линейного программирования часто предполагает запись всех условий как равенства. Это можно сделать с помощью добавления искусственных переменных, называемых "переменными исключения" (искусственные переменные или slack variables). 2. Начальная задача: \[ Z(X)= x_1 - x_2 + 3x_3 \rightarrow \max \] при следующих ограничениях: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 \leq 5, \\ 4x_1 + 2x_2 + x_3 = 2, \\ 3x_1 + x_2 + 2x_3 \geq 3, \\ x_j \geq 0, \; j = 1, 2, 3. \end{cases} \] 3. Приведем каждое неравенство к равенству с помощью добавления искусственных переменных \( s_1 \), \( s_2 \) и \( s_3 \). Для первого ограничения \( x_1 + x_2 + 2x_3 \leq 5 \) добавляем неотрицательную переменную \( s_1 \): \[ x_1 + x_2 + 2x_3 + s_1 = 5, \quad s_1 \geq 0. \] Для второго ограничения \( 4x_1 + 2x_2 + x_3 = 2 \) нам не нужно добавлять переменную, так как это уже равенство. Для третьего ограничения \( 3x_1 + x_2 + 2x_3 \geq 3 \) добавляем еще одну переменную \( s_3 \) с отрицательным знаком: \[ 3x_1 + x_2 + 2x_3 - s_3 = 3, \quad s_3 \geq 0. \] Таким образом, получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 + s_1 = 5, \\ 4x_1 + 2x_2 + x_3 = 2, \\ 3x_1 + x_2 + 2x_3 - s_3 = 3, \\ x_1, x_2, x_3, s_1, s_3 \geq 0. \end{cases} \] Целевая функция в канонической форме останется той же: \[ Z(X) = x_1 - x_2 + 3x_3 \rightarrow \max. \] Итак, финальная каноническая форма задачи линейного программирования: \[ Z(X) = x_1 - x_2 + 3x_3 \rightarrow \max \] при условиях: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 + s_1 = 5, \\ 4x_1 + 2x_2 + x_3 = 2, \\ 3x_1 + x_2 + 2x_3 - s_3 = 3, \\ x_1, x_2, x_3, s_1, s_3 \geq 0. \end{cases} \] Теперь задача приведена к канонической форме.