Привести к каноническому виду задачу линейного программирования

Данная задача относится к разделу математического программирования, а именно — линейному программированию. В задании требуется привести задачу линейного программирования к каноническому виду.

Описание задачи:

Минимизировать функцию:

\[ Z(X) = x_1 - x_2 - 2x_3 \rightarrow \min \]

При следующих ограничениях:

\[ \begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 \geq 1, \\ -2x_1 + 3x_2 = 1, \\ -3x_1 + 4x_2 + 2x_3 \leq 1, \\ x_j \geq 0, \quad j = 1, 2, 3. \end{cases} \]

Преобразование в канонический вид:

1. Приведение к равенствам: Для решения задачи методом симплекс-метода, все ограничения должны быть приведены к равенству. Это достигается введением добавочных переменных (искусственных переменных, переменных избыточности) для каждого ограничения.

\[ x_1 - x_2 - x_3 - s_1 = 1, \quad s_1 \geq 0, \]

где \( s_1 \) - переменная избыточности для первого ограничения (её значение будет неотрицательным).

\[ -2x_1 + 3x_2 + s_2 = 1, \quad s_2 \geq 0, \]

где \( s_2 \) - переменная избытка для второго ограничения (её значение будет неотрицательным).

\[ -3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + s_3 = 1, \quad s_3 \geq 0, \]

где \( s_3 \) - переменная запаса для третьего ограничения (её значение будет неотрицательным).

2. Запись задачи в каноническом виде: Целевая функция:

\[ Z = x_1 - x_2 - 2x_3 \rightarrow \min. \]

Ограничения:

\[ \begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 - s_1 = 1, \\ -2x_1 + 3x_2 + s_2 = 1, \\ -3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + s_3 = 1, \\ x_1, x_2, x_3, s_1, s_2, s_3 \geq 0. \end{cases} \]

Решение задачи линейного программирования в каноническом виде можно приводить дальше методом симплекс-метода, но на данном этапе мы привели задачу к необходимости форму и готовы приступить к ее решению любым стандартным методом, например, симплекс-методом.