Привести эту квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Рассмотрим задание 3) с доски:

Задана квадратичная форма:

4x^2 + 2\sqrt{14}xy - y^2 = 18

Наша цель — привести эту квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Шаг 1. Запишем квадратичную форму в матричном виде

Общая форма:

Q(x, y) = [x \ y] \cdot A \cdot \begin{bmatrix}x \ y\end{bmatrix}

Матрица симметрична, и для квадратичной формы:

4x^2 + 2\sqrt{14}xy - y^2

матрица будет:

 A = \begin{bmatrix} 4 & \sqrt{14} \ \sqrt{14} & -1 \end{bmatrix} 

Шаг 2. Найдём собственные значения матрицы A

Решаем характеристическое уравнение:

 \det(A - \lambda I) = 0 

 \begin{vmatrix} 4 - \lambda & \sqrt{14} \ \sqrt{14} & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 

Вычислим определитель:

 (4 - \lambda)(-1 - \lambda) - 14 = 0 

 -(4 - \lambda)(1 + \lambda) - 14 = 0 

 -(4 + 4\lambda - \lambda - \lambda^2) - 14 = 0 

 -(4 + 3\lambda - \lambda^2) - 14 = 0 

 -\left(-\lambda^2 + 3\lambda + 4\right) - 14 = 0 

 \lambda^2 - 3\lambda - 18 = 0 

Решим квадратное уравнение:

 \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2} 

 \lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = -3 

Шаг 3. Найдём собственные векторы

Для \lambda_1 = 6:

Решаем систему:

 (A - 6I)\vec{v} = 0 

 \begin{bmatrix} -2 & \sqrt{14} \ \sqrt{14} & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = 0 

Решим:

 -2x + \sqrt{14}y = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{\sqrt{14}}x 

Выберем x = \sqrt{14}, тогда y = 2

Собственный вектор:

 \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} \sqrt{14} \ 2 \end{bmatrix} 

Нормируем:

 \|\vec{v}_1\| = \sqrt{14 + 4} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} 

 \vec{e}_1 = \frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \sqrt{14} \ 2 \end{bmatrix} 

Для \lambda_2 = -3:

 (A + 3I)\vec{v} = 0 

 \begin{bmatrix} 7 & \sqrt{14} \ \sqrt{14} & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = 0 

 7x + \sqrt{14}y = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{\sqrt{14}}x 

Пусть x = \sqrt{14}, тогда y = -7

Собственный вектор:

 \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} \sqrt{14} \ -7 \end{bmatrix} 

Нормируем:

 \|\vec{v}_2\| = \sqrt{14 + 49} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} 

 \vec{e}_2 = \frac{1}{3\sqrt{7}} \begin{bmatrix} \sqrt{14} \ -7 \end{bmatrix} 

Шаг 4. Ортогональное преобразование

Пусть P — матрица из ортонормированных собственных векторов:

 P = \begin{bmatrix} \vec{e}_1 & \vec{e}_2 \end{bmatrix} 

Тогда преобразование координат:

 \vec{x} = P \vec{u} 

В новых координатах квадратичная форма принимает вид:

 Q(u) = \lambda_1 u_1^2 + \lambda_2 u_2^2 = 6u_1^2 - 3u_2^2 

Шаг 5. Приведённый канонический вид

Канонический вид квадратичной формы:

 6u_1^2 - 3u_2^2 = 18 

Разделим обе части на 18:

 \frac{u_1^2}{3} - \frac{u_2^2}{6} = 1 

Это уравнение гиперболы.

Ответ:

Канонический вид квадратичной формы:

 \frac{u_1^2}{3} - \frac{u_2^2}{6} = 1 

Тип поверхности: гипербола.

Если нужно, могу также построить график в новых координатах.