Привести данную квадратичную форму к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования

Предмет: Линейная алгебра. Раздел: Квадратичные формы.
Задача:

Нам необходимо привести данную квадратичную форму \( x_1x_2 - 3x_2x_3 \) к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Шаг 1: Представим квадратичную форму в матричном виде.

Квадратичная форма может быть записана через симметрическую матрицу \( A \), так что:

\[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]

где \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^T \).

Теперь перепишем квадратичную форму \( x_1x_2 - 3x_2x_3 \):

\[ Q(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 - 3x_2x_3 \]

Шаг 2: Построим матрицу квадратичной формы.

Мы ищем симметрическую матрицу \( A \), такую что квадратичная форма представляет собой:

\[ Q(\mathbf{x}) = x_1x_2 - 3x_2x_3 \]

Это означает, что в разложении на элементы матрицы \( A \) нам нужно правильно расставить коэффициенты для переменных.

\[ Q(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \sum a_{ij} x_ix_j \]

Зная это, можем составить симметричную матрицу \( A \), где значения коэффициентов стоят в соответствующих позициях для переменных \( x_1x_2 \) и \( x_2x_3 \).

Матрица квадратичной формы:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Приведение к каноническому виду.

Для того чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, нужно диагонализировать матрицу \( A \), то есть найти её собственные значения и собственные векторы.

  1. Найдём характеристическое уравнение для матрицы:
  2. \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

    где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения.

    Матрица \( A - \lambda I \):

    \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} \]

    Теперь найдём определитель этой матрицы:

\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\lambda \end{vmatrix} - \frac{1}{2} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{vmatrix} \]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн