Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Нам необходимо привести данную квадратичную форму \( x_1x_2 - 3x_2x_3 \) к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.
Квадратичная форма может быть записана через симметрическую матрицу \( A \), так что:
\[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]
где \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^T \).
Теперь перепишем квадратичную форму \( x_1x_2 - 3x_2x_3 \):
\[ Q(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 - 3x_2x_3 \]
Мы ищем симметрическую матрицу \( A \), такую что квадратичная форма представляет собой:
\[ Q(\mathbf{x}) = x_1x_2 - 3x_2x_3 \]
Это означает, что в разложении на элементы матрицы \( A \) нам нужно правильно расставить коэффициенты для переменных.
\[ Q(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \sum a_{ij} x_ix_j \]
Зная это, можем составить симметричную матрицу \( A \), где значения коэффициентов стоят в соответствующих позициях для переменных \( x_1x_2 \) и \( x_2x_3 \).
Матрица квадратичной формы:
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} \]
Для того чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, нужно диагонализировать матрицу \( A \), то есть найти её собственные значения и собственные векторы.
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения.
Матрица \( A - \lambda I \):
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} \]
Теперь найдём определитель этой матрицы:
\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\lambda \end{vmatrix} - \frac{1}{2} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{vmatrix} \]