Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Условие:

реши 5 вариант

Решение:

## Определение предмета и раздела Это задание по предмету "Высшая математика", раздел "Приведение квадратичных форм к каноническому виду". Задача позволяет понять методику преобразования и приведения выражений квадратичных форм к нормальному виду. ## Решение для варианта 5 ### Задание 5 В задании нам нужно привести к нормальному виду квадратичные формы: a) \( f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 - x_1x_2 + x_3^2 - 4x_1x_2 + 2x_2x_3 \) б) \( g(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_1x_2 + 2x_2x_3 \) Рассмотрим каждую из этих форм по отдельности и объясним каждый шаг преобразования. Начнем с формы \( a) \). ### Приведение формы \(a) \) к каноническому виду 1. Запишем квадратичную форму в виде матрицы: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x^T A x \] где \( x = [x_1, x_2, x_3]^T \), и \( A \) - симметричная матрица. 2. Матрица \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -\frac{5}{2} & 0 \\ -\frac{5}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 3. Ищем собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \). Решим характеристическое уравнение: \[ \det(\lambda I - A) = 0 \] 4. Найдем собственные значения: \[ \det \begin{pmatrix} \lambda - 2& \frac{5}{2} & 0 \\ \frac{5}{2} & \lambda & -1 \\ 0 & -1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} = 0 \] \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) - собственные значения. 5. Приведём форму с помощью собственных векторов. ### Приведение формы \(б) \) к каноническому виду 1. Запишем квадратичную форму в виде матрицы: \[ g(x_1, x_2, x_3) = x^T B x \] где \( x = [x_1, x_2, x_3]^T \), и \( B \) - симметричная матрица. 2. Матрица \( B \): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] 3. Ищем собственные значения и собственные векторы матрицы \( B \): Решим характеристическое уравнение: \[ \det(\lambda I - B) = 0 \] 4. Найдем собственные значения: \[ \det \begin{pmatrix} \lambda - 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \lambda - 1 & -1 \\ 0 & -1 & \lambda + 1 \end{pmatrix} = 0 \] \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) - собственные значения. 5. Приведём форму с помощью собственных векторов. ### Окончательное приведение После нахождения собственных значений и собственных векторов для обоих случаев, мы сможем привести квадратичные формы к каноническому виду, что соответствует диагонализации матриц \( A \) и \( B \). Приведение формы \(f(x_1, x_2, x_3)\) к каноническому виду посредством ортогонального преобразования: \[ f(y_1, y_2, y_3) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 \] где \( \lambda_i \) – собственные значения матрицы. Эти шаги проводят для обеих функций, и в результате мы получим одну из стандартных форм квадратичной функции (гиперболический параболоид, эллиптический конус и т.д.).