Применить правило Крамера для решения системы уравнений

Определение предмета и раздела

Это задание по линейной алгебре, а конкретно из раздела системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Согласно условию, нужно применить правило Крамера для решения системы уравнений.

Дана система линейных уравнений:

1. \( x + 2y + z = 6 \)
2. \( 2x - 3y - 2z = -6 \)
3. \( x + 5y + z = 12 \)

Шаг 1: Составление матрицы коэффициентов

Для каждого уравнения выпишем коэффициенты при переменных \(x\), \(y\) и \(z\), на основе которых будет составлена матрица коэффициентов:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & -2 \\ 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \]

Матрицу обозначим через \( A \).

Шаг 2: Вычисление определителя матрицы \( A \) — это \(\Delta\)

\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & -2 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} \]

Для вычисления определителя 3x3 воспользуемся правилом Саррюса:

\[ \Delta = 1 \cdot (-3 \cdot 1 - (-2) \cdot 5) - 2 \cdot (2 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 5 - (-3) \cdot 1) \]

Теперь поэтапный расчет:

\[ \Delta = 1 \cdot (-3 - (-10)) - 2 \cdot (2 - (-2)) + 1 \cdot (10 - (-3)) \]

\[ \Delta = 1 \cdot 7 - 2 \cdot 4 + 1 \cdot 13 \]

\[ \Delta = 7 - 8 + 13 = 12 \]

Таким образом, определитель матрицы \( \Delta = 12 \).

Шаг 3: Вычисление \(\Delta_x\), \(\Delta_y\), \(\Delta_z\)

1. Найдем \( \Delta_x \): заменяем первый столбец матрицы коэффициентов столбцом свободных членов (координат правых частей уравнений):

\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 1 \\ -6 & -3 & -2 \\ 12 & 5 & 1 \end{vmatrix} \]

По правилу Саррюса:

\[ \Delta_x = 6 \cdot (-3 \cdot 1 - (-2) \cdot 5) - 2 \cdot (-6 \cdot 1 - (-2) \cdot 12) + 1 \cdot (-6 \cdot 5 - (-3) \cdot 12) \]

Расчет:

\[ \Delta_x = 6 \cdot (-3 - (-10)) - 2 \cdot (-6 - (-24)) + 1 \cdot (-30 + 36) \]

\[ \Delta_x = 6 \cdot 7 - 2 \cdot 18 + 1 \cdot (-30 + 36) \]

\[ \Delta_x = 42 - 36 + 6 = 12 \]

2. Найдем \( \Delta_y \): заменяем второй столбец матрицы коэффициентов столбцом свободных членов:

\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & -6 & -2 \\ 1 & 12 & 1 \end{vmatrix} \]}

По правилу Саррюса:

\[ \Delta_y = 1 \cdot (-6 \cdot 1 - (-2) \cdot 12) - 6 \cdot (2 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 12 - (-6) \cdot 1) \]

Расчет:

\[ \Delta_y = 1 \cdot (-6 + 24) - 6 \cdot (2 + 2) + 1 \cdot (24 + 6) \]

\[ \Delta_y = 18 - 6 \cdot 4 + 1 \cdot 30 \]

\[ \Delta_y = 18 - 24 + 30 = 24 \]

3. Найдем \( \Delta_z \): заменяем третий столбец матрицы коэффициентов столбцом свободных членов:

\[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & -3 & -6 \\ 1 & 5 & 12 \end{vmatrix} \]

По правилу Саррюса:

\[ \Delta_z = 1 \cdot (-3 \cdot 12 - (-6) \cdot 5) - 2 \cdot (2 \cdot 12 - (-6) \cdot 1) + 6 \cdot (2 \cdot 5 - (-3) \cdot 1) \]

Расчет:

\[ \Delta_z = 1 \cdot (-36 + 30) - 2 \cdot (24 + 6) + 6 \cdot (10 + 3) \]

\[ \Delta_z = 1 \cdot (-6) - 2 \cdot 30 + 6 \cdot 13 \]

\[ \Delta_z = -6 - 60 + 78 = 12 \]

Шаг 4: Найдем решения

Теперь воспользуемся правилом Крамера:

\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \]

Подставляем значения:

\[ x = \frac{12}{12}, \quad y = \frac{24}{12}, \quad z = \frac{12}{12} \]

\[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 1 \]

Ответ: \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \)