Применить правило Крамера для решения системы уравнений

Определение предмета и раздела

Это задание по линейной алгебре, а конкретно из раздела системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Согласно условию, нужно применить правило Крамера для решения системы уравнений.

Дана система линейных уравнений:

1. $\text{(}x+2y+z=6\text{)}$
2. $\text{(}2x-3y-2z=-6\text{)}$
3. $\text{(}x+5y+z=12\text{)}$

Шаг 1: Составление матрицы коэффициентов

Для каждого уравнения выпишем коэффициенты при переменных $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}y\text{)}$ и $\text{(}z\text{)}$, на основе которых будет составлена матрица коэффициентов:

$\text{[}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -3& -2\\ 1& 5& 1\end{array}\right)\text{]}$

Матрицу обозначим через $\text{(}A\text{)}$.

Шаг 2: Вычисление определителя матрицы $\text{(}A\text{)}$ — это $\text{(}\mathrm{\Delta }\text{)}$

$\text{[}\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -3& -2\\ 1& 5& 1\end{array}\right|\text{]}$

Для вычисления определителя 3x3 воспользуемся правилом Саррюса:

$\text{[}\mathrm{\Delta }=1\cdot (-3\cdot 1-(-2)\cdot 5)-2\cdot (2\cdot 1-(-2)\cdot 1)+1\cdot (2\cdot 5-(-3)\cdot 1)\text{]}$

Теперь поэтапный расчет:

$\text{[}\mathrm{\Delta }=1\cdot (-3-(-10))-2\cdot (2-(-2))+1\cdot (10-(-3))\text{]}$

$\text{[}\mathrm{\Delta }=1\cdot 7-2\cdot 4+1\cdot 13\text{]}$

$\text{[}\mathrm{\Delta }=7-8+13=12\text{]}$

Таким образом, определитель матрицы $\text{(}\mathrm{\Delta }=12\text{)}$.

Шаг 3: Вычисление $\text{(}{\mathrm{\Delta }}_x\text{)}$, $\text{(}{\mathrm{\Delta }}_y\text{)}$, $\text{(}{\mathrm{\Delta }}_z\text{)}$

1. Найдем $\text{(}{\mathrm{\Delta }}_x\text{)}$: заменяем первый столбец матрицы коэффициентов столбцом свободных членов (координат правых частей уравнений):

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_x=\left|\begin{array}{ccc}6& 2& 1\\ -6& -3& -2\\ 12& 5& 1\end{array}\right|\text{]}$

По правилу Саррюса:

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_x=6\cdot (-3\cdot 1-(-2)\cdot 5)-2\cdot (-6\cdot 1-(-2)\cdot 12)+1\cdot (-6\cdot 5-(-3)\cdot 12)\text{]}$

Расчет:

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_x=6\cdot (-3-(-10))-2\cdot (-6-(-24))+1\cdot (-30+36)\text{]}$

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_x=6\cdot 7-2\cdot 18+1\cdot (-30+36)\text{]}$

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_x=42-36+6=12\text{]}$

2. Найдем $\text{(}{\mathrm{\Delta }}_y\text{)}$: заменяем второй столбец матрицы коэффициентов столбцом свободных членов:

$\text{Extra close brace or missing open brace}$

По правилу Саррюса:

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_y=1\cdot (-6\cdot 1-(-2)\cdot 12)-6\cdot (2\cdot 1-(-2)\cdot 1)+1\cdot (2\cdot 12-(-6)\cdot 1)\text{]}$

Расчет:

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_y=1\cdot (-6+24)-6\cdot (2+2)+1\cdot (24+6)\text{]}$

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_y=18-6\cdot 4+1\cdot 30\text{]}$

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_y=18-24+30=24\text{]}$

3. Найдем $\text{(}{\mathrm{\Delta }}_z\text{)}$: заменяем третий столбец матрицы коэффициентов столбцом свободных членов:

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 6\\ 2& -3& -6\\ 1& 5& 12\end{array}\right|\text{]}$

По правилу Саррюса:

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_z=1\cdot (-3\cdot 12-(-6)\cdot 5)-2\cdot (2\cdot 12-(-6)\cdot 1)+6\cdot (2\cdot 5-(-3)\cdot 1)\text{]}$

Расчет:

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_z=1\cdot (-36+30)-2\cdot (24+6)+6\cdot (10+3)\text{]}$

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_z=1\cdot (-6)-2\cdot 30+6\cdot 13\text{]}$

$\text{[}{\mathrm{\Delta }}_z=-6-60+78=12\text{]}$

Шаг 4: Найдем решения

Теперь воспользуемся правилом Крамера:

$\text{[}x=\frac{{\mathrm{\Delta }}_x}{\mathrm{\Delta }},y=\frac{{\mathrm{\Delta }}_y}{\mathrm{\Delta }},z=\frac{{\mathrm{\Delta }}_z}{\mathrm{\Delta }}\text{]}$

Подставляем значения:

$\text{[}x=\frac{12}{12},y=\frac{24}{12},z=\frac{12}{12}\text{]}$

$\text{[}x=1,y=2,z=1\text{]}$

Ответ: $\text{(}x=1\text{)}$, $\text{(}y=2\text{)}$, $\text{(}z=1\text{)}$