При каких A и B система имеет бесчисленное множество решений? Найти эти решения

Пример 1:

При каких A и B система имеет бесчисленное множество решений? Найти эти решения.

Решение от преподавателя:

По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если 1) определитель системы равен нулю, и 2) ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.

Из первого условия находим:

Для проверки выполнения второго условия находим ранги матриц данной системы уравнений. Для этого с помощью линейных операций со строками приводим расширенную матрицу системы при А=4 к ступенчатому виду:

        

Из последней матрицы следует, что ранги равны, если

     

Находим решения системы. Для этого записываем эквивалентную систему уравнений, соответствующую последней матрице, для В=-3:

Получаем общее решение данной системы уравнений:

z – свободная переменная.

 

Ответ: А=4, В=-3,

 z – свободная переменная.