Преобразование матрицы в каноническую форму

Предмет: Математика. Раздел: Линейная алгебра (каноническая форма матрицы).

Задача связана с преобразованием матрицы в каноническую форму. Для начала уточним, что каноническая форма может быть различной в зависимости от контекста (например, Жорданова форма, диагональная форма и т.д.). Однако, если не указано иное, обычно требуется привести матрицу к ступенчатому виду (или сокращённому ступенчатому виду).

Давайте разберёмся с преобразованием данных чисел в каноническую форму.

Итак, у нас есть матрица: [ \begin{bmatrix} 1312 \ -1201 \ -5021 \end{bmatrix} ]

Это одномерная матрица-столбец (вектор), и её нужно преобразовать в каноническую форму.

Шаги преобразования:

1. Проверка структуры матрицы: У нас матрица-столбец, и её каноническая форма будет зависеть от требований (например, нормализация или приведение к ступенчатому виду).
2. Приведение к ступенчатому виду: Здесь мы должны попытаться исключить линейную зависимость между строками, если она есть. Однако, поскольку это одномерный вектор, он уже находится в "ступенчатом виде".
3. Упрощение коэффициентов: Часто требуется привести элементы матрицы к более простому виду, например, найти наибольший общий делитель (НОД) всех элементов и разделить их на него.

Нахождение НОД:

Элементы вектора: [1312, -1201, -5021].

1. Найдём НОД для чисел 1312 и -1201:

   • Разложим числа на простые множители:
     • 1312 = 2^6 * 41.
     • 1201 = 1201 (простое число).
   • НОД(1312, 1201) = 1 (общих множителей нет).

2. Проверим НОД для всех трёх чисел:

   • НОД(1, -5021) = 1 (так как 5021 также простое число).

Таким образом, НОД равен 1, и числа уже находятся в "упрощённом" виде.

Ответ:

В данном случае вектор [1312, -1201, -5021] уже находится в канонической форме, так как:

1. Это одномерный вектор.
2. НОД элементов равен 1, и числа не требуют дальнейшего упрощения.

Итоговая каноническая форма:

 \begin{bmatrix} 1312 \ -1201 \ -5021 \end{bmatrix}