Преобразование квадратичных форм с использованием матриц

Условие:

Решение:

Этот вопрос относится к области **линейной алгебры** и конкретно к **преобразованиям квадратичных форм с использованием матриц**. Нам дана квадратичная форма \( x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2 \) и преобразование, заданное матрицей \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \] Для того чтобы найти новую квадратичную форму, нужно заменить \( x_1 \) и \( x_2 \) через \( y_1 \) и \( y_2 \) с помощью данной матрицы, а затем подставить эти выражения в исходную форму. Напишем систему уравнений, исходя из данной матрицы: \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \] \[ x_1 = 2y_1 + y_2 \] \[ x_2 = -2y_1 + 3y_2 \] Теперь подставим эти выражения в исходную квадратичную форму \( x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2 \): \[ (2y_1 + y_2)^2 - 2(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) - (-2y_1 + 3y_2)^2 \] Выполним вычисления для каждого слагаемого отдельно. 1. \( x_1^2 = (2y_1 + y_2)^2 = 4y_1^2 + 4y_1y_2 + y_2^2 \) 2. \( -2x_1x_2 = -2(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) = -2( -4y_1^2 + 6y_1y_2 - 2y_1y_2 + 3y_2^2 ) = -2( -4y_1^2 + 4y_1y_2 + 3y_2^2 ) = 8y_1^2 - 8y_1y_2 - 6y_2^2 \) 3. \( -x_2^2 = -(-2y_1 + 3y_2)^2 = -(4y_1^2 - 12y_1y_2 + 9y_2^2) = -4y_1^2 + 12y_1y_2 - 9y_2^2 \) Теперь сложим все полученные выражения вместе: \[ 4y_1^2 + 4y_1y_2 + y_2^2 + 8y_1^2 - 8y_1y_2 - 6y_2^2 - 4y_1^2 + 12y_1y_2 - 9y_2^2 \] Упростим: \[ (4y_1^2 + 8y_1^2 - 4y_1^2) + (4y_1y_2 - 8y_1y_2 + 12y_1y_2) + (y_2^2 - 6y_2^2 - 9y_2^2) \] \[ = 8y_1^2 + 8y_1y_2 - 14y_2^2 \] Таким образом правильный ответ: \[ 8y_1^2 + 8y_1y_2 - 14y_2^2 \] Ответ: \( 8y_1^2 + 8y_1y_2 - 14y_2^2 \)