Преобразование квадратичных форм с использованием матриц

Этот вопрос относится к области линейной алгебры и конкретно к преобразованиям квадратичных форм с использованием матриц.

Нам дана квадратичная форма \( x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2 \) и преобразование, заданное матрицей \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \]. Для того чтобы найти новую квадратичную форму, нужно заменить \( x_1 \) и \( x_2 \) через \( y_1 \) и \( y_2 \) с помощью данной матрицы, а затем подставить эти выражения в исходную форму.

Напишем систему уравнений, исходя из данной матрицы:

Теперь подставим эти выражения в исходную квадратичную форму \( x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2 \):

Выполним вычисления для каждого слагаемого отдельно.

1. \( x_1^2 = (2y_1 + y_2)^2 = 4y_1^2 + 4y_1y_2 + y_2^2 \)
2. \( -2x_1x_2 = -2(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) = -2( -4y_1^2 + 6y_1y_2 - 2y_1y_2 + 3y_2^2 ) = -2( -4y_1^2 + 4y_1y_2 + 3y_2^2 ) = 8y_1^2 - 8y_1y_2 - 6y_2^2 \)
3. \( -x_2^2 = -(-2y_1 + 3y_2)^2 = -(4y_1^2 - 12y_1y_2 + 9y_2^2) = -4y_1^2 + 12y_1y_2 - 9y_2^2 \)

Теперь сложим все полученные выражения вместе:

Упростим:

Таким образом правильный ответ:

Ответ: \( 8y_1^2 + 8y_1y_2 - 14y_2^2 \)