Преобразование квадратичных форм

Это задание относится к разделу линейной алгебры и аналитической геометрии, а именно к преобразованию квадратичных форм.

Функция задана в каноническом виде: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - 16x_2^2 + x_3^2 \] Для перехода к нормальному виду нам нужно привести квадратичную форму к виду, в котором коэффициенты при квадратных членах будут нормальными, т.е. все коэффициенты будут равны единице или нулю, а крестовые члены будут отсутствовать.

Шаги по преобразованию переменных:

1. Анализ формы матрицы квадратичной формы: Можем присвоить следующую матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -16 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Это диагональная матрица; наша форма уже канонична.
2. Переход к нормальному виду методом замены переменных: Мы видим, что квадратичная форма имеет диагональные элементы с нормировкой: \[x_1^2\] и \[x_3^2\] уже в нормализованном виде, а \[-16x_2^2\] - нужно избавиться от коэффициента \(-16\). Мы можем сделать это заменой \(x_2 = 4y_2\): Тогда: \[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - 16(4y_2)^2 + x_3^2 = x_1^2 - 16 \cdot 16y_2^2 + x_3^2 = x_1^2 - 16 \cdot y_2^2 \cdot 16 + x_3^2 = x_1^2 - y_2^2 + x_3^2 \] Если мы будем использовать замену \(x_1, x_2, x_3\) такими как \(x_1 = y_1, x_2 = 4y_2, x_3 = y_3\), получим: \[ f(y_1, y_2, y_3) = y_1^2 - y_2^2 + y_3^2 \] Следовательно, мы хотим заменить переменные \(x_2\) на \(4y_2\), в то время как \(x_1\) и \(x_3\) остаются неизменными.

Таким образом, ответом на вопрос об изменении переменных будет: \[ x_1 = y_1, \quad x_2 = 4y_2, \quad x_3 = y_3 \] Теперь квадратичная форма преобразована в нормальный вид: \[ f(y_1, y_2, y_3) = y_1^2 - y_2^2 + y_3^2. \]