Преобразование квадратичных форм

Это задание относится к разделу линейной алгебры и аналитической геометрии, а именно к преобразованию квадратичных форм.

Функция задана в каноническом виде: $\text{[}f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-16x_2^2+x_3^2\text{]}$ Для перехода к нормальному виду нам нужно привести квадратичную форму к виду, в котором коэффициенты при квадратных членах будут нормальными, т.е. все коэффициенты будут равны единице или нулю, а крестовые члены будут отсутствовать.

Шаги по преобразованию переменных:

1. Анализ формы матрицы квадратичной формы: Можем присвоить следующую матрица: $\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -16& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{]}$ Это диагональная матрица; наша форма уже канонична.
2. Переход к нормальному виду методом замены переменных: Мы видим, что квадратичная форма имеет диагональные элементы с нормировкой: $\text{[}{x}_1^2\text{]}$ и $\text{[}{x}_3^2\text{]}$ уже в нормализованном виде, а $\text{[}-16x_2^2\text{]}$ - нужно избавиться от коэффициента $\text{(}-16\text{)}$. Мы можем сделать это заменой $\text{(}{x}_2=4y_2\text{)}$: Тогда: $\text{[}f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-16(4y_2{)}^2+x_3^2=x_1^2-16\cdot 16y_2^2+x_3^2=x_1^2-16\cdot y_2^2\cdot 16+x_3^2=x_1^2-y_2^2+x_3^2\text{]}$ Если мы будем использовать замену $\text{(}{x}_1,x_2,x_3\text{)}$ такими как $\text{(}{x}_1=y_1,x_2=4y_2,x_3=y_3\text{)}$, получим: $\text{[}f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2-y_2^2+y_3^2\text{]}$ Следовательно, мы хотим заменить переменные $\text{(}{x}_2\text{)}$ на $\text{(}4y_2\text{)}$, в то время как $\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_3\text{)}$ остаются неизменными.

Таким образом, ответом на вопрос об изменении переменных будет: $\text{[}{x}_1=y_1,x_2=4y_2,x_3=y_3\text{]}$ Теперь квадратичная форма преобразована в нормальный вид: $\text{[}f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2-y_2^2+y_3^2.\text{]}$