Преобразование квадратичной форму, используя заданные замены переменных

Условие:

Найти ответ

Решение:

Давай решим это задание по алгебре, в котором требуется преобразовать квадратичную форму, используя заданные замены переменных. У нас есть квадратичная форма \( x_1^2 - x_2^2 + 2x_1x_2 \) и замены переменных: \[ x_1 = y_1 - y_2 \] \[ x_2 = y_1 + y_2 \] Подставим эти замены в данную квадратичную форму: 1. \( x_1^2 = (y_1 - y_2)^2 \) 2. \( x_2^2 = (y_1 + y_2)^2 \) 3. \( 2x_1x_2 = 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) \) Теперь найдем каждое из выражений: 1. \( x_1^2 = (y_1 - y_2)^2 = y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 \) 2. \( x_2^2 = (y_1 + y_2)^2 = y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2 \) 3. \( 2x_1x_2 = 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 2(y_1^2 - y_2^2) \) Теперь подставим эти выражения в исходную квадратичную форму: \[ x_1^2 - x_2^2 + 2x_1x_2 = (y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2) - (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) + 2(y_1^2 - y_2^2) \] Раскрываем скобки и упрощаем: \[ x_1^2 - x_2^2 + 2x_1x_2 = y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 - y_1^2 - 2y_1y_2 - y_2^2 + 2y_1^2 - 2y_2^2 \] \[ = y_1^2 - y_1^2 - y_2^2 + y_2^2 - 4y_1y_2 + 2y_1^2 - 2y_2^2 \] \[ = (y_1^2 - y_1^2) + (y_2^2 - y_2^2) - 4y_1y_2 + 2y_1^2 - 2y_2^2 \] \[ = 2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \] Таким образом, после всех преобразований квадратичная форма принимает вид \( 2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \). Ответом является: \( 2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \).