Преобразование квадратичной форму, используя заданные замены переменных

Давай решим это задание по алгебре, в котором требуется преобразовать квадратичную форму, используя заданные замены переменных.

У нас есть квадратичная форма \( x_1^2 - x_2^2 + 2x_1x_2 \) и замены переменных: \[ x_1 = y_1 - y_2 \] \[ x_2 = y_1 + y_2 \] Подставим эти замены в данную квадратичную форму:

1. \( x_1^2 = (y_1 - y_2)^2 \)
2. \( x_2^2 = (y_1 + y_2)^2 \)
3. \( 2x_1x_2 = 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) \)

Теперь найдем каждое из выражений:

1. \( x_1^2 = (y_1 - y_2)^2 = y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 \)
2. \( x_2^2 = (y_1 + y_2)^2 = y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2 \)
3. \( 2x_1x_2 = 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 2(y_1^2 - y_2^2) \)

Теперь подставим эти выражения в исходную квадратичную форму:

\[ x_1^2 - x_2^2 + 2x_1x_2 = (y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2) - (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) + 2(y_1^2 - y_2^2) \]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[ x_1^2 - x_2^2 + 2x_1x_2 = y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 - y_1^2 - 2y_1y_2 - y_2^2 + 2y_1^2 - 2y_2^2 \]

\[ = y_1^2 - y_1^2 - y_2^2 + y_2^2 - 4y_1y_2 + 2y_1^2 - 2y_2^2 \]

\[ = (y_1^2 - y_1^2) + (y_2^2 - y_2^2) - 4y_1y_2 + 2y_1^2 - 2y_2^2 \]

\[ = 2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \]

Таким образом, после всех преобразований квадратичная форма принимает вид \( 2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \). Ответом является: \( 2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \).