Постройте графики уравнений

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра — построение графиков уравнений.

Задание:

Построить графики следующих уравнений:

1. \( x + y = 2 \)
2. \( (x - 1)(y + 2) = 0 \)
3. \( (x + 3)(y - 4) = 0 \)

Решение:

а) \( x + y = 2 \)

Это уравнение линейное. Разберем его подробнее.

1. Преобразуем уравнение к удобной форме: \( y = -x + 2 \).
2. Теперь найдем несколько точек, которые принадлежат этой линии. Подставляем разные значения \( x \) и считаем \( y \):
   • Если \( x = 0 \), то \( y = -0 + 2 = 2 \). Точка: \( (0, 2) \).
   • Если \( x = 2 \), то \( y = -2 + 2 = 0 \). Точка: \( (2, 0) \).
   • Если \( x = 1 \), то \( y = -1 + 2 = 1 \). Точка: \( (1, 1) \).
3. Теперь, пользуясь этими точками, можем построить график. Точки \( (0, 2) \), \( (2, 0) \) и \( (1, 1) \) находятся на одной прямой. График — это прямая линия через эти точки.

б) \( (x - 1)(y + 2) = 0 \)

Это уравнение состоит из двух множителей. Для того, чтобы произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю.

1. \( x - 1 = 0 \)
   Это уравнение даст вертикальную прямую через точку \( x = 1 \). Прямая параллельна оси \( y \) и обозначает, что \( x = 1 \) для всех \( y \)-значений.
2. \( y + 2 = 0 \), или \( y = -2 \)
   Это уравнение даст горизонтальную прямую через точку \( y = -2 \). Прямая параллельна оси \( x \) и обозначает, что \( y = -2 \) для всех \( x \)-значений.

График представляет собой две пересекающиеся прямые: вертикальная прямая \( x = 1 \) и горизонтальная прямая \( y = -2 \).

в) \( (x + 3)(y - 4) = 0 \)

Принцип решения аналогичен предыдущему примеру. Разбираем уравнение на два множителя:

1. \( x + 3 = 0 \), или \( x = -3 \)
   Это вертикальная прямая \( x = -3 \), которая параллельна оси \( y \).
2. \( y - 4 = 0 \), или \( y = 4 \)
   Это горизонтальная прямая \( y = 4 \), которая параллельна оси \( x \).

Итоги:

• Для уравнения \( x + y = 2 \) графиком является прямая линия, наклонённая вниз.
• Для уравнений \( (x - 1)(y + 2) = 0 \) и \( (x + 3)(y - 4) = 0 \) графики состоят из двух пересекающихся прямых — одна прямая вертикальная, другая горизонтальная.

Графики этих уравнений выглядят примерно так:

• а) \( x + y = 2 \) — Линия наклонена вниз от точки \( (0, 2) \) до \( (2, 0) \) и далее.
• б) \( (x - 1)(y + 2) = 0 \) — Вертикальная линия через \( x = 1 \) и горизонтальная линия через \( y = -2 \).
• в) \( (x + 3)(y - 4) = 0 \) — Вертикальная линия через \( x = -3 \) и горизонтальная линия через \( y = 4 \).

График снова представляет собой пересечение вертикальной прямой \( x = -3 \) и горизонтальной прямой \( y = 4 \).