Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов, используя процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Условие:

Решение:

Данное задание относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Ортогонализация векторов". Необходимо построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов, используя процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Предположим, что даны векторы: \[ \mathbf{v}_1 = (2, 1, 3, -1) \] \[ \mathbf{v}_2 = (1, 1, -6, 0) \] \[ \mathbf{v}_3 = (5, 7, 7, 8) \] Применим процесс ортогонализации Грама-Шмидта: 1. Определим первый ортогональный вектор как \(\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1\): \[ \mathbf{u}_1 = (2, 1, 3, -1) \] 2. Определим второй ортогональный вектор \(\mathbf{u}_2\): \[ \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1 \] Вычислим скалярные произведения: \[ \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (-6) \cdot 3 + 0 \cdot (-1) = 2 + 1 - 18 = -15 \] \[ \langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle = 2^2 + 1^2 + 3^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 9 + 1 = 15 \] Тогда: \[ \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{-15}{15} \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_2 + \mathbf{u}_1 \] \[ \mathbf{u}_2 = (1, 1, -6, 0) + (2, 1, 3, -1) \] \[ \mathbf{u}_2 = (3, 2, -3, -1) \] 3. Определим третий ортогональный вектор \(\mathbf{u}_3\): \[ \mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2 \rangle}{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle} \mathbf{u}_2 \] Вычислим скалярные произведения: \[ \langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1 \rangle = 5 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot (-1) = 10 + 7 + 21 - 8 = 30 \] \[ \langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle = 3^2 + 2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 4 + 9 + 1 = 23 \] \[ \langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2 \rangle = 5 \cdot 3 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot (-3) + 8 \cdot (-1) = 15 + 14 - 21 - 8 = 0 \] Тогда можно упростить: \[ \mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{30}{15} \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_3 - 2 \mathbf{u}_1 \] \[ \mathbf{u}_3 = (5, 7, 7, 8) - 2 \cdot (2, 1, 3, -1) \] \[ \mathbf{u}_3 = (5, 7, 7, 8) - (4, 2, 6, -2) \] \[ \mathbf{u}_3 = (1, 5, 1, 10) \] Таким образом, ортогональные векторы: \[ \mathbf{u}_1 = (2, 1, 3, -1) \] \[ \mathbf{u}_2 = (3, 2, -3, -1) \] \[ \mathbf{u}_3 = (1, 5, 1, 10) \] Ортогональный базис найден.