Построить матричный вид квадратичной формы и определить её знакоположительность по критерию Сильвестра

Этот тип задания относится к высшей математике, подраздел линейной алгебры, где требуется построить матричный вид квадратичной формы и определить её знакоположительность по критерию Сильвестра. Рассмотрим вариант 5: \[ f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 - 3x_1x_2 - x_1x_3 + 2x_2x_3 \]

1. Построение матричного вида квадратичной формы

Для построения матричного вида квадратичной формы \( f(x_1, x_2, x_3) \), вектор переменных \(\mathbf{x}\) представляется в виде: \[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

Матрица квадратичной формы \(\mathbf{A}\) должна удовлетворять следующему условию: \[ f(x_1, x_2, x_3) = \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} \]

Запишем данное выражение в более наглядном виде: \[ f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 - 3x_1x_2 - x_1x_3 + 2x_2x_3 \]

Элементы матрицы можно определить следующим образом:

• Диагональные элементы матрицы \( \mathbf{A} \) соответствуют коэффициентам при квадратичных членах (\( x_1^2, x_2^2, x_3^2 \)).
• Вне диагональные элементы (элементы выше и ниже главной диагонали) соответствуют половине коэффициентов при смешанных членах (\( x_ix_j \)).

Матрица \( \mathbf{A} \) имеет вид: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \]

Где:

• \( a_{11} = 3 \)
• \( a_{22} = 2 \)
• \( a_{33} = -1 \)
• \( 2a_{12} = -3 \implies a_{12} = -1.5 \)
• \( 2a_{13} = -1 \implies a_{13} = -0.5 \)
• \( 2a_{23} = 2 \implies a_{23} = 1 \)

Учтём симметричность матрицы: \( a_{ij} = a_{ji} \). Итак, матрица \( \mathbf{A} \) принимает вид: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & -1.5 & -0.5 \\ -1.5 & 2 & 1 \\ -0.5 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]

2. Критерий Сильвестра для определения знакоположительности

Для определения знакоположительности матрицы необходимо вычислить главные миноры матрицы и проверить их знаки.

Вычислим следующие главные миноры:

• \[ \Delta_1 = a_{11} = 3 \]
• \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 3 & -1.5 \\ -1.5 & 2 \end{vmatrix} = (3)(2) - (-1.5)(-1.5) = 6 - 2.25 = 3.75 \]
• \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 3 & -1.5 & -0.5 \\ -1.5 & 2 & 1 \\ -0.5 & 1 & -1 \end{vmatrix} \]
• \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -2 - 1 = -3 \]
• \[ \begin{vmatrix} -1.5 & 1 \\ -0.5 & -1 \end{vmatrix} = (-1.5)(-1) - (1)(-0.5) = 1.5 + 0.5 = 2 \]
• \[ \begin{vmatrix} -1.5 & 2 \\ -0.5 & 1 \end{vmatrix} = (-1.5)(1) - (2)(-0.5) = -1.5 + 1 = 0.5 \]
• \[ \Delta_3 = 3 \cdot (-3) - (-1.5) \cdot 2 + (-0.5) \cdot 0.5 = -9 + 3 - 0.25 = -6.25 \]

Итак, полученные миноры временных переменных \(\Delta_1 = 3 > 0\), \(\Delta_2 = 3.75 > 0\), \(\Delta_3 = -6.25 < 0\). Таким образом, исходная квадратичная форма не является знакоположительной (и не является положительно определенной матрицей), так как хотя бы один из главных миноров отрицателен.