Определение
Данное задание относится к математике, а именно, к разделу математического анализа или функций и графиков. Необходимо построить график заданной кусочной функции:
\[
y =
\begin{cases}
2\sqrt{x}, & \text{если } 0 \leq x < 1, \\
4 - 2x, & \text{если } 1 \leq x < 3, \\
-2, & \text{если } x \geq 3.
\end{cases}
\]
Разбор и пошаговое выполнение
1. Разберем функцию по частям.
Функция состоит из трех частей:
- Первая часть: \( y = 2\sqrt{x} \), если \( 0 \leq x < 1 \)
- Это корень из \(x\), умноженный на 2.
- График имеет вид сглаженной кривой, которая начинается в точке \( (0, 0) \) (так как \( \sqrt{0} = 0 \)) и при \( x = 1 \) принимает значение \( 2\sqrt{1} = 2 \).
- Интервал: \( [0, 1) \) (левая точка включается, правая не включается).
- Вторая часть: \( y = 4 - 2x \), если \( 1 \leq x < 3 \)
- Это прямая, убывающая функция.
- В точке \( x = 1 \): \( y = 4 - 2(1) = 2 \).
- В точке \( x = 3 \): \( y = 4 - 2(3) = -2 \).
- Интервал: \( [1, 3) \) (левая точка включается, правая не включается).
- Третья часть: \( y = -2 \), если \( x \geq 3 \)
- Это горизонтальная прямая, которая фиксирована на уровне \( y = -2 \) для всех \( x \geq 3 \).
2. Построение таблицы значений (опорных точек).
Для удобства построения графика заменим значения \(x\) в пределах каждого из интервалов:
| Часть функции |
\( x \) |
Формула \( y = f(x) \) |
Значение \(y\) |
| \( y = 2\sqrt{x} \) |
\( x = 0 \) |
\( y = 2\sqrt{0} \) |
\( 0 \) |
|
\( x = 0.25 \) |
\( y = 2\sqrt{0.25} \) |
\( 1 \) |
|
\( x = 1 \) (не включено) |
\( y = 2\sqrt{1} \) |
\( 2 \) |
| \( y = 4 - 2x \) |
\( x = 1 \) |
\( y = 4 - 2(1) \) |
\( 2 \) |
|
\( x = 2 \) |
\( y = 4 - 2(2) \) |
\( 0 \) |
|
\( x = 3 \) (не включено) |
\( y = 4 - 2(3) \) |
\( -2 \) |
| \( y = -2 \) |
\( x = 3 \) |
\( y = -2 \) |
\( -2 \) |
|
\( x = 4 \) |
\( y = -2 \) |
\( -2 \) |
3. Построение графика.
- Для первой части (\( y = 2\sqrt{x} \) при \( 0 \leq x < 1 \)):
- График представляет собой кусок кривой \( y = 2\sqrt{x} \), начиная с точки \( (0, 0) \) и доходя до точки \( (1, 2) \), где правая точка не включается (пустая).
- Для второй части (\( y = 4 - 2x \) при \( 1 \leq x < 3 \)):
- График идет по прямой линии от \( (1, 2) \) до \( (3, -2) \), где правая точка не включается (пустая).
- Для третьей части (\( y = -2 \) при \( x \geq 3 \)):
- График горизонтальная линия \( y = -2 \), начиная с точки \( (3, -2) \), где левая точка включается (закрашенная).
4. Характеристики графика.
- График состоит из трех частей: кривой, прямой и горизонтальной линии.
- Все переходы между частями согласованы, чтобы избежать разрывов.
- Точки \( x = 1 \) и \( x = 3 \) являются граничными для разных функций в кусочной записи.
5. Результирующий график.
- Начертите оси \(x\) и \(y\). Отметьте точки пересечения (например, \(0\), \(1\), \(3\)).
- Постройте по точкам кривую \( y = 2\sqrt{x} \) на интервале \( [0, 1) \).
- Соедините прямую линию \( y = 4 - 2x \) на интервале \( [1, 3) \).
- Нарисуйте горизонтальную линию \( y = -2 \) для \( x \geq 3 \).