Посчитать скалярное произведение векторов с матрицей грама

Разберём ваш запрос

Определим предмет и раздел, а затем подробно решим поставленную задачу с примером.

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Скалярное произведение векторов, матрица Грама

1. Что такое матрица Грама?

Матрица Грама используется в линейной алгебре и содержит скалярные произведения векторов базиса или набора заданных векторов. Для набора векторов \( v_1, v_2, \ldots, v_n \), матрица Грама \( G \) определяется как:

\[ G = \begin{bmatrix} v_1 \cdot v_1 & v_1 \cdot v_2 & \cdots & v_1 \cdot v_n \\ v_2 \cdot v_1 & v_2 \cdot v_2 & \cdots & v_2 \cdot v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n \cdot v_1 & v_n \cdot v_2 & \cdots & v_n \cdot v_n \\ \end{bmatrix} \]

Здесь \( v_i \cdot v_j \) — это скалярное произведение \( i \)-го и \( j \)-го векторов. Элементы матрицы Грама симметричны (\( G[i, j] = G[j, i] \)).

2. Связь с вычислением скалярного произведения

Для конкретных векторов мы можем использовать матрицу Грама для вычисления их скалярного произведения. Пусть у нас есть два вектора \( u \) и \( v \), записанные в виде линейных комбинаций базисных векторов:

\[ u = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n \]
\[ v = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \ldots + \beta_n v_n \]

Тогда их скалярное произведение можно вычислить как:

\[ u \cdot v = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) \cdot G \cdot (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n)^\top \]

3. Пример

Возьмём три вектора в трёхмерном пространстве:

\[ v_1 = (1, 0, 0), \quad v_2 = (0, 1, 0), \quad v_3 = (1, 1, 0) \]

3.1 Строим матрицу Грама

Находим попарные скалярные произведения:

\[ v_1 \cdot v_1 = 1, \quad v_1 \cdot v_2 = 0, \quad v_1 \cdot v_3 = 1 \]
\[ v_2 \cdot v_2 = 1, \quad v_2 \cdot v_3 = 1 \]
\[ v_3 \cdot v_3 = 2 \]

Теперь запишем матрицу Грама:

\[ G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]

3.2 Определяем векторы \( u \) и \( v \)

Пусть:

\[ u = v_1 + 2v_2 + v_3, \quad v = v_1 - v_2 + 2v_3 \]
В коэффициентной форме:
\[ u = (1, 2, 1), \quad v = (1, -1, 2) \]

3.3 Вычисляем скалярное произведение

Используем формулу:

\[ u \cdot v = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \cdot G \cdot (\beta_1, \beta_2, \beta_3)^\top \]

Где:

\[ \alpha = (1, 2, 1), \quad \beta = (1, -1, 2) \]

Выполним шаги:

1. Сначала вычислим \( G \cdot \beta^\top \):

   \[ G \cdot \beta^\top = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \]

2. Затем вычислим \( \alpha \cdot (G \cdot \beta^\top) \):

   \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 = 3 + 2 + 4 = 9 \]

Итак, скалярное произведение \( u \cdot v = 9 \).

Ответ:

Скалярное произведение векторов \( u \) и \( v \), вычисленное через матрицу Грама, равно \( 9 \).