Посчитать определитель методом лапласса

Это задание из предмета "линейная алгебра", раздел — "определители".

Необходимо найти определитель 3x3 методом разложения по строке или столбцу — это и есть метод Лапласса. Дана матрица: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & -9 & -3 \\ 1 & 20 & 1 \\ \end{vmatrix} \]

Метод Лапласса (разложение по строке или столбцу)

заключается в том, что мы выбираем любую строку или столбец, раскрываем определитель по их элементам, умножая каждый элемент на соответствующий минор, и добавляем знак по правилу шахматного порядка знаков. Шахматный порядок знаков для матрицы 3x3: \[ \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \\ \end{bmatrix} \]

Разложим определитель по первой строке (первая строка: 3, 15, 2), для чего: \[ \Delta_2 = 3 \cdot \begin{vmatrix} -9 & -3 \\ 20 & 1 \end{vmatrix} - 15 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ 1 & 20 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим каждый из миноров:

1. \[ \begin{vmatrix} -9 & -3 \\ 20 & 1 \end{vmatrix} = (-9) \cdot 1 - (-3) \cdot 20 = -9 + 60 = 51 \]
2. \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - (-3) \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \]
3. \[ \begin{vmatrix} 2 & -9 \\ 1 & 20 \end{vmatrix} = 2 \cdot 20 - (-9) \cdot 1 = 40 + 9 = 49 \]

Теперь подставим результаты миноров в разложение: \[ \Delta_2 = 3 \cdot 51 - 15 \cdot 5 + 2 \cdot 49 \] \[ \Delta_2 = 153 - 75 + 98 = 176 \]

Таким образом, определитель \(\Delta_2\) равен 176.