Определение предмета и раздела:
Это задание относится к математике, а если быть точнее — к теории уравнений и анализу корней многочленов с помощью системы Штурма. Система Штурма — это метод, который используется для нахождения числа вещественных корней приведённого многочлена на заданном интервале.
Разбор задачи:
Дано уравнение: \[ f(x) = x^3 - 3x - 1 \]
Система Штурма для этого многочлена составлена следующим образом:
- \( f_0(x) = x^3 - 3x - 1 \)
- \( f_1(x) = 3x^2 - 3 \)
- \( f_2(x) = 2x + 1 \)
- \( f_3(x) = 1 \)
Также дана таблица распределения знаков для данных функций на различных значениях \(x\).
Теперь нужно подсчитать количество смен знаков в каждом столбце этой таблицы.
Определение смены знаков:
Подсчет количества смен знаков в каждом столбце:
- Столбец \(-\infty\): \[ (-, +, -, +) \] Смотрим чередование знаков: \[ (- \to +) \quad (+ \to -) \quad (- \to +) \] Число смен знаков: 3.
- Столбец -3: \[ (-, +, +, +) \] Смотрим чередование знаков: \[ (- \to +) \] Число смен знаков: 1.
- Столбец \(-2\): \[ (-, +, -, +) \] Смотрим чередование знаков: \[ (- \to +) \quad (+ \to -) \quad (- \to +) \] Число смен знаков: 3.
- Столбец \(-1\): \[ (-, 0, -, +) \] Стоит заметить, что при нуле символ не считается сменой знака. То есть \( 0 \) можно пропустить: \[ (- \to -, - \to +) \] Число смен знаков: 1.
- Столбец \(0\): \[ (-, 0, +, +) \] Пропускаем \( 0 \), так как с ним смены знака не происходит: \[ (- \to +) \] Число смен знаков: 1.
- Столбец \(1\): \[ (+, +, +, +) \] Все символы одинаковые, смен знака нет. Число смен знаков: 0.
- Столбец \(2\): \[ (+, +, +, +) \] Тоже нет смен знаков, все символы одинаковые. Число смен знаков: 0.
- Столбец \(3\): \[ (+, +, +, +) \] И здесь также отсутствуют смены знаков. Число смен знаков: 0.
- Столбец \(+\infty\): \[ (+, +, +, +) \] Нет смены знаков, все одинаково. Число смен знаков: 0.
Ответ:
- Столбец \(-\infty\): 3 смены знаков
- Столбец \(-3\): 1 смена знаков
- Столбец \(-2\): 3 смены знаков
- Столбец \(-1\): 1 смена знаков
- Столбец \(0\): 1 смена знаков
- Столбец \(1\): 0 смен знаков
- Столбец \(2\): 0 смен знаков
- Столбец \(3\): 0 смен знаков
- Столбец \(+\infty\): 0 смен знаков
Смена знака происходит, когда последовательные значения двух соседних функций меняются с “плюс” на “минус” или с “минус” на “плюс”. Например, если символы меняются с \(+\) на \(-\) или с \(-\) на \(+\) по вертикали, то это считается одной сменой знака.