Показать, что точки лежат в одной плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия (раздел — векторы и уравнение плоскости).

Задача: Необходимо доказать, что четыре точки \(A(2; -1; -2)\), \(B(1; 2; 1)\), \(C(2; 3; 0)\) и \(D(5; 0; -6)\) лежат в одной плоскости.

Решение:

Для того чтобы доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости, нужно показать, что векторы, образованные этими точками, линейно зависимы. Для этого вычислим смешанное произведение трех векторов, образованных точками \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Если смешанное произведение равно нулю, то точки действительно лежат в одной плоскости.

1. Запишем координаты векторов:

\[\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, 2 - (-1), 1 - (-2)) = (-1, 3, 3)\] \[\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 2, 3 - (-1), 0 - (-2)) = (0, 4, 2)\] \[\overrightarrow{AD} = D - A = (5 - 2, 0 - (-1), -6 - (-2)) = (3, 1, -4)\]

2. Найдем смешанное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\).

Смешанное произведение трёх векторов можно вычислить как определитель матрицы:

\[V = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix}\]

Определитель вычисляем по правилу Саррюса:

\[V = -1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\]

Вычисляем:

\[V = -1 \cdot (4 \cdot (-4) - 2 \cdot 1) - 3 \cdot (0 \cdot (-4) - 2 \cdot 3) + 3 \cdot (0 \cdot 1 - 4 \cdot 3)\]

\[V = -1 \cdot (-16 - 2) - 3 \cdot (-6) + 3 \cdot (-12)\]

\[V = -1 \cdot (-18) - 3 \cdot (-6) + 3 \cdot (-12)\]

\[V = 18 + 18 - 36 = 0\]

3. Вывод:

Ответ: Точки лежат в одной плоскости.

Так как смешанное произведение векторов \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \) равно нулю, это означает, что эти векторы компланарны, и, следовательно, точки \( A(2; -1; -2) \), \( B(1; 2; 1) \), \( C(2; 3; 0) \) и \( D(5; 0; -6) \) лежат в одной плоскости.