Показать, что следующие операторы являются линейными

Это задание относится к предмету линейная алгебра, а именно к разделу линейных операторов и матриц.

Разбор задачи 3.169

Формулировка задачи:

Задано пространство \( P_3 \) с программированным вектором. Требуется показать, что следующие операторы являются линейными:

1. \( A(x) = \left( x_1, x_2, x_3, x_4 \right) \);
2. \( B(x) = \lambda x_2 e_2 \).

1. Линейный оператор A:

Существует операция действия оператора на вектор \( x = (x_1, x_2, x_3, x_4) \), задана функция преобразования:

\[ A(x) = (x_1, x_2, x_3, 0). \]

Условие линейности:

Анализ линейности включает проверку следующих свойств:

1. \( A(x + y) = A(x) + A(y) \);
2. \( A(\alpha x) = \alpha A(x), \) где \( \alpha \) — скаляр, а \( x \) и \( y \) — векторы из соответствующего пространства.

Проверка 1-го свойства:

Пусть \( x = (x_1, x_2, x_3, x_4) \) и \( y = (y_1, y_2, y_3, y_4) \), тогда

\[ A(x + y) = A((x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3, x_4 + y_4)) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3, 0). \]

С другой стороны,

\[ A(x) + A(y) = (x_1, x_2, x_3, 0) + (y_1, y_2, y_3, 0) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3, 0). \]

Значит, первое свойство выполнено.

Проверка 2-го свойства:

Пусть \( \alpha \) — скаляр, тогда:

\[ A(\alpha x) = A(\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3, \alpha x_4) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3, 0), \]

а с другой стороны:

\[ \alpha A(x) = \alpha(x_1, x_2, x_3, 0) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3, 0). \]

Это подтверждает выполнение второго свойства.

Следовательно, оператор \( A \) является линейным.

2. Линейный оператор B:

Функция оператора \( B \) имеет вид:

\[ B(x) = \lambda x_2 e_2. \]

Запишем, что это означает: оператор \( B \) преобразует вектор \( x = (x_1, x_2, x_3, x_4) \) таким образом, что во втором компоненте результат представляет собой произведение \( \lambda \) на второй компонент вектора \( e_2 \).

Проверка 1-го свойства линейности:

Пусть даны векторы \( x = (x_1, x_2, x_3, x_4) \) и \( y = (y_1, y_2, y_3, y_4) \).

\[ B(x + y) = \lambda(x_2 + y_2)e_2. \]

С другой стороны,

\[ B(x) + B(y) = \lambda x_2 e_2 + \lambda y_2 e_2 = \lambda (x_2 + y_2) e_2. \]

Значит, первое свойство выполнено.

Проверка 2-го свойства линейности:

Пусть \( \alpha \) — скаляр, тогда

\[ B(\alpha x) = \lambda (\alpha x_2) e_2 = \alpha \lambda x_2 e_2, \]

а с другой стороны,

\[ \alpha B(x) = \alpha (\lambda x_2 e_2) = \alpha \lambda x_2 e_2. \]

Это подтверждает выполнение второго условия.

Следовательно, оператор \( B \) также является линейным.

Ответ:

Оба оператора \( A \) и \( B \) являются линейными.