Показать, что система совместна и найти её решение методом обратной матрицы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:

 \begin{cases} 7x_1 + x_2 - 2x_3 = -3, \ 3x_1 - x_2 + x_3 = 2, \ x_2 - x_3 = 1. \end{cases} 

Требуется показать, что система совместна, и найти её решение методом обратной матрицы.

Шаг 1. Запись системы в матричной форме

Систему можно записать в виде матричного уравнения AX = B, где:

• A — матрица коэффициентов,
• X — столбец неизвестных,
• B — столбец свободных членов.

Матрица коэффициентов A, столбец неизвестных X и столбец свободных членов B имеют вид:

 A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & -2 \ 3 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}. 

Следовательно, система записывается как:

 AX = B. 

Шаг 2. Проверка совместности системы

Система линейных уравнений совместна, если матрица A невырожденная, то есть её определитель \det(A) \neq 0. Вычислим определитель матрицы A:

 \det(A) = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -2 \ 3 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}. 

Раскроем определитель по первому столбцу:

 \det(A) = 7 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 1 & -1 \end{vmatrix}. 

Вычислим миноры:

1. \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0.
2. \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (1)(-2) = -1 + 2 = 1.

Подставляем значения:

 \det(A) = 7 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3. 

Так как \det(A) \neq 0, матрица A невырожденная, и система совместна.

Шаг 3. Решение системы методом обратной матрицы

Решение системы AX = B находится по формуле:

 X = A^{-1}B, 

где A^{-1} — обратная матрица к A. Найдём A^{-1}.

3.1. Вычисление обратной матрицы

Обратная матрица находится по формуле:

 A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A), 

где \text{adj}(A) — присоединённая матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений). Вычислим её.

Алгебраические дополнения матрицы A:

Для каждого элемента a_{ij} матрицы A вычислим миноры:

1. C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0, \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \ 0 & -1 \end{vmatrix} = -3, \quad C_{13} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3.
2. C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1, \quad C_{22} = \begin{vmatrix} 7 & -2 \ 0 & -1 \end{vmatrix} = -7, \quad C_{23} = -\begin{vmatrix} 7 & 1 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = -7.
3. C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad C_{32} = -\begin{vmatrix} 7 & -2 \ 3 & 1 \end{vmatrix} = -13, \quad C_{33} = \begin{vmatrix} 7 & 1 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = -10.

Присоединённая матрица:

 \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \ -3 & -7 & -13 \ 3 & -7 & -10 \end{pmatrix}. 

Обратная матрица:

 A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = -\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \ -3 & -7 & -13 \ 3 & -7 & -10 \end{pmatrix}. 

Умножим A^{-1} на B:

 X = A^{-1}B = -\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \ -3 & -7 & -13 \ 3 & -7 & -10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}. 

Выполним умножение:

 X = -\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} (-1)(2) + (-1)(1) = -3 \ (-3)(-3) + (-7)(2) + (-13)(1) = 9 - 14 - 13 = -18 \ (3)(-3) + (-7)(2) + (-10)(1) = -9 - 14 - 10 = -33 \end{pmatrix}. 

Получаем:

 X = -\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 \ -18 \ -33 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 6 \ 11 \end{pmatrix}. 

Ответ:

Система совместна. Решение системы:

 x_1 = 1, \quad x_2 = 6, \quad x_3 = 11.