Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы

Этот пример относится к предмету "Алгебра и аналитическая геометрия", раздел "Векторы в пространстве". Для того чтобы найти значения параметра \( a \), при которых векторы \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) ортогональны, нужно воспользоваться условием ортогональности векторов. Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Для начала найдем скалярное произведение \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \):

\[ \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ a \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{Y} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Скалярное произведение \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) определяется как:

\[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \]

где \( (x_1, x_2, x_3) \) и \( (y_1, y_2, y_3) \) - координаты векторов \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) соответственно. Подставим значения:

\[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = 4 \cdot 3 + a \cdot (-1) + (-2) \cdot 5 \]

Выполним вычисления:

\[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = 12 - a - 10 \]

Приведём подобные:

\[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = 2 - a \]

Для ортогональности векторов их скалярное произведение должно равняться нулю:

\[ 2 - a = 0 \]

Решим уравнение:

\[ a = 2 \]

Таким образом, при \( a = 2 \) векторы \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) будут ортогональными.