Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы

Условие:

Решение:

Этот пример относится к предмету "Алгебра и аналитическая геометрия", раздел "Векторы в пространстве". Для того чтобы найти значения параметра \( a \), при которых векторы \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) ортогональны, нужно воспользоваться условием ортогональности векторов. Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Для начала найдем скалярное произведение \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \): \[ \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ a \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{Y} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \] Скалярное произведение \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) определяется как: \[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \] где \( (x_1, x_2, x_3) \) и \( (y_1, y_2, y_3) \) - координаты векторов \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) соответственно. Подставим значения: \[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = 4 \cdot 3 + a \cdot (-1) + (-2) \cdot 5 \] Выполним вычисления: \[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = 12 - a - 10 \] Приведём подобные: \[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} = 2 - a \] Для ортогональности векторов их скалярное произведение должно равняться нулю: \[ 2 - a = 0 \] Решим уравнение: \[ a = 2 \] Таким образом, при \( a = 2 \) векторы \( \mathbf{X} \) и \( \mathbf{Y} \) будут ортогональными.