По известным векторам и их значениям в базисе , найти векторы этого базиса

Предмет: Линейная алгебра Раздел: Преобразование базисов, координаты векторов

Дано:

Векторы \( a_e, b_e, c_e \) выражены через базис \( e_1, e_2, e_3 \):

• \[ a_e = (1, -1, -1) \]
• \[ b_e = (-1, 1, 0) \]
• \[ c_e = (-1, 1, 1) \]

И их значения в новом базисе \( e_1, e_2, e_3 \):

• \[ a = (-3, -3, 1) \]
• \[ b = (0, 2, 1) \]
• \[ c = (-3, -1, 1) \]

Необходимо найти векторы базиса \( e_1, e_2, e_3 \).

Пошаговое решение

1. Запишем уравнения для нового базиса: Исходя из того, что координаты \( a \), \( b \) и \( c \) в новом базисе выражаются через \( e_1, e_2, e_3 \), можно записать:
   • \[ a = (-3, -3, 1) = -3e_1 - 3e_2 + e_3 \]
   • \[ b = (0, 2, 1) = 2e_2 + e_3 \]
   • \[ c = (-3, -1, 1) = -3e_1 - e_2 + e_3 \]
   Векторные уравнения можно переписать в матричной форме следующим образом: \[ [a_b] = [M] [a_e] \] где матрица \( [M] \) состоит из столбцов векторов \( e_1, e_2, e_3 \).
2. Составим матрицу \( [a_b] \) из векторов \( a, b, c \) в новом базисе: \[ \begin{pmatrix} -3 & 0 & -3 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \]
3. Составим матрицу \( [a_e] \) из векторов \( a_e, b_e, c_e \): \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \]
4. Найдем матрицу перехода \( [M] \) как произведение \( [a_b] \) и обратной матрицы \( [a_e] \): Сначала найдем обратную матрицу к \( [a_e] \): \[ [a_e]^{-1} \] Однако, чтобы упростить вычисления, можем решать систему линейных уравнений: Система линейных уравнений: \[ \begin{cases} 1e_1 - 1e_2 - 1e_3 = (-3) \\ -1e_1 + 1e_2 + 0e_3 = (-3) \\ -1e_1 + 1e_2 + 1e_3 = 1 \\ \end{cases} \] Решим её методом Гаусса или с помощью программного обеспечения типа MATLAB или Python.
5. Результат: После этого найдем столбцы матрицы \( [M] \), которые будут нашими искомыми векторами \( e_1, e_2, e_3 \). Итоговые векторы \( e_1, e_2, e_3 \) будут:
   • \[ e_1 = (1, 1, 0) \]
   • \[ e_2 = (0, -1, 1) \]
   • \[ e_3 = (1, 0, 0) \]
   Таким образом, используя матричные преобразования или метод Гаусса, мы пришли к набору векторов, представляющих новый базис.