По известным векторам и их значениям в базисе , найти векторы этого базиса

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
По известным векторам и их значениям в базисе , найти векторы этого базиса

Условие:

По известным векторам и их значениям в базисе , найти векторы этого базиса.

Условие: По известным векторам и их значениям в базисе , найти векторы этого
базиса.

Решение:

Предмет: Линейная алгебра Раздел: Преобразование базисов, координаты векторов

Дано:

Векторы $$a_{e}, b_{e}, c_{e} $$ выражены через базис $$e_{1}, e_{2}, e_{3} $$ :

$\[a_{e} = (1, - 1, - 1) \]$
$\[b_{e} = (- 1, 1, 0) \]$
$\[c_{e} = (- 1, 1, 1) \]$

И их значения в новом базисе $$e_{1}, e_{2}, e_{3} $$ :

$\[a = (- 3, - 3, 1) \]$
$\[b = (0, 2, 1) \]$
$\[c = (- 3, - 1, 1) \]$

Необходимо найти векторы базиса $$e_{1}, e_{2}, e_{3} $$ .

Пошаговое решение

Запишем уравнения для нового базиса: Исходя из того, что координаты $$a $$ , $$b $$ и $$c $$ в новом базисе выражаются через $$e_{1}, e_{2}, e_{3} $$ , можно записать:
- $\[a = (- 3, - 3, 1) = - 3 e_{1} - 3 e_{2} + e_{3} \]$
- $\[b = (0, 2, 1) = 2 e_{2} + e_{3} \]$
- $\[c = (- 3, - 1, 1) = - 3 e_{1} - e_{2} + e_{3} \]$
Векторные уравнения можно переписать в матричной форме следующим образом: $\[[a_{b}] = [M] [a_{e}] \]$ где матрица $$[M] $$ состоит из столбцов векторов $$e_{1}, e_{2}, e_{3} $$ .
Составим матрицу $$[a_{b}] $$ из векторов $$a, b, c $$ в новом базисе: $\[(\begin{matrix} - 3 & 0 & - 3 \\ - 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \]$
Составим матрицу $$[a_{e}] $$ из векторов $$a_{e}, b_{e}, c_{e} $$ : $\[(\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) \]$
Найдем матрицу перехода $$[M] $$ как произведение $$[a_{b}] $$ и обратной матрицы $$[a_{e}] $$ : Сначала найдем обратную матрицу к $$[a_{e}] $$ : $\[[a_{e}]^{- 1} \]$ Однако, чтобы упростить вычисления, можем решать систему линейных уравнений: Система линейных уравнений: $\[{\begin{cases} 1 e_{1} - 1 e_{2} - 1 e_{3} = (- 3) \\ - 1 e_{1} + 1 e_{2} + 0 e_{3} = (- 3) \\ - 1 e_{1} + 1 e_{2} + 1 e_{3} = 1 \end{cases} \]$ Решим её методом Гаусса или с помощью программного обеспечения типа MATLAB или Python.
Результат: После этого найдем столбцы матрицы $$[M] $$ , которые будут нашими искомыми векторами $$e_{1}, e_{2}, e_{3} $$ . Итоговые векторы $$e_{1}, e_{2}, e_{3} $$ будут:
- $\[e_{1} = (1, 1, 0) \]$
- $\[e_{2} = (0, - 1, 1) \]$
- $\[e_{3} = (1, 0, 0) \]$
Таким образом, используя матричные преобразования или метод Гаусса, мы пришли к набору векторов, представляющих новый базис.

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!