По известной матрице линейного оператора в базисе и разложению базиса e по базисуu, найти в базисе

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
По известной матрице линейного оператора в базисе и разложению базиса e по базисуu, найти в базисе

Условие:

По известной матрице линейного оператора в базисе и разложению базиса e по базису u, найти в базисе .

Условие: По известной матрице линейного оператора в базисе и разложению базиса e по базису
u, найти в базисе .

Решение:

Этот вопрос относится к предмету "линейная алгебра" и его разделу "линейные операторы и базисная смена".

Для того, чтобы найти матрицу линейного оператора \(A_u\) в базисе \(u_1, u_2, u_3\), нужно выполнить некоторые шаги, включающие преобразования координат и вычисление преобразующей матрицы.

Шаг 1: Определение преобразующей матрицы \(P\)

Разложение \(\{e_i\}\) через \(\{u_i\}\) записано как:

\[ \begin{aligned} e_1 &= u_1 + u_2 - u_3, \\ e_2 &= u_1 + 2u_2 - u_3, \\ e_3 &= 2u_2 + u_3. \end{aligned} \]

Эти выражения можно переписать в виде матрицы:

\[ \begin{bmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}. \]

Преобразующая матрица \(P\) будет:

\[ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}. \]

Шаг 2: Нахождение обратной матрицы \(P^{-1}\)

Нам нужно найти обратную матрицу \(P^{-1}\), так как она потребуется для преобразования матрицы \(A_e\) в новый базис.

\[ P^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

Проверку правильности \(P^{-1}\) можно выполнить умножением \(P \cdot P^{-1} = I\).

Шаг 3: Преобразование матрицы \(A_e\) в базис \(u\)

Матрица линейного оператора в новом базисе рассчитывается по формуле:

\[ A_u = P^{-1} A_e P. \]

Где \(A_e\) уже известно:

\[ A_e = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \]

Теперь проведем умножение матриц:

Вычислим \(P^{-1} A_e\):

\[ P^{-1} A_e = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \]

Проведем умножение:

\[ P^{-1} A_e = \begin{bmatrix} 11 & 5 & 12 \\ -6 & -2 & -5 \\ 5 & 3 & 7 \end{bmatrix}. \]

Теперь вычислим полный результат \(A_u\):

\[ A_u = (P^{-1} A_e) P = \begin{bmatrix} 11 & 5 & 12 \\ -6 & -2 & -5 \\ 5 & 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}. \]

Проведем умножение:

\[ A_u = \begin{bmatrix} 16 & 45 & -4 \\ -8 & -20 & 3 \\ 8 & 25 & -1 \end{bmatrix}. \]

Таким образом, матрица \(A_u\) в базисе \(u_1, u_2, u_3\):