По формуле Крамера найти неизвестную x

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений (метод Крамера)

Метод Крамера применяется для решения систем линейных уравнений вида:

 \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases} 

Решение по методу Крамера основано на вычислении определителей. Для нахождения переменной x используется формула:

 x = \frac{D_x}{D} 

где:

• D — определитель основной матрицы коэффициентов:

   D = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \ 1 & 1 & 2 \ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} 

• D_x — определитель матрицы, полученной заменой первого столбца на столбец свободных членов:

   D_x = \begin{vmatrix} 14 & 4 & 2 \ 8 & 1 & 2 \ 15 & 2 & 2 \end{vmatrix} 

1. Вычислим D:

 D = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \ 1 & 1 & 2 \ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} \end{formula> Разложим по первой строке: D = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & 2 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 3 & 2 \end{vmatrix} 

Вычислим миноры:

 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2 

 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4 

 \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 2 - 3 = -1 

Подставим:

 D = 2(-2) - 4(-4) + 2(-1) = -4 + 16 - 2 = 10 

2. Вычислим D_x:

 D_x = \begin{vmatrix} 14 & 4 & 2 \ 8 & 1 & 2 \ 15 & 2 & 2 \end{vmatrix} 

Разложим по первой строке:

 D_x = 14 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & 2 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 8 & 2 \ 15 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 8 & 1 \ 15 & 2 \end{vmatrix} 

Вычислим миноры:

 \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = -2 

 \begin{vmatrix} 8 & 2 \ 15 & 2 \end{vmatrix} = 8 \cdot 2 - 2 \cdot 15 = 16 - 30 = -14 

 \begin{vmatrix} 8 & 1 \ 15 & 2 \end{vmatrix} = 8 \cdot 2 - 1 \cdot 15 = 16 - 15 = 1 

Подставим:

 D_x = 14(-2) - 4(-14) + 2(1) = -28 + 56 + 2 = 30 

3. Найдём x:

 x = \frac{D_x}{D} = \frac{30}{10} = 3 

Ответ:

x = 3