Ответ по теме линейная алгебры и теория квадратичных форм

Условие:

Решение:

Этот вопрос относится к математике, а точнее, к разделу линейной алгебры и теории квадратичных форм. Рассмотрим каждое из утверждений для определения правильного ответа: 1. Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах переменных в канонической форме не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду. 2. Ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях. 3. Канонический вид квадратичной формы является однозначно определенным. Проанализируем каждое утверждение: (а) Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах переменных в канонической форме не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду. Это утверждение верно. Данные коэффициенты являются инвариантами канонической формы (инварианты Сильвестра). (б) Ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях. Это утверждение верно. Ранг квадратичной формы остается неизменным при линейных преобразованиях. (в) Канонический вид квадратичной формы является однозначно определенным. Это утверждение неверно. Канонический вид квадратичной формы может принимать различные формы в зависимости от выбора базиса, например, стандартная каноническая форма и форма нормальной матрицы. Таким образом, правильные ответы – это утверждения (а) и (б). Ответ: а, б