Ортогонализация векторов с использованием процесса Грама-Шмидта

Эта задача относится к разделу линейной алгебры, а именно к теме "Ортогонализация векторов" с использованием процесса Грама-Шмидта.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта позволяет из набора линейно независимых векторов построить ортогональную (или ортонормированную, если нормализовать) систему векторов, натягивающую то же подпространство.

Итак, у нас есть три вектора: $\text{[}{\mathbf{a}}_1=(2,1,3,-1),{\mathbf{a}}_2=(1,1,-6,0),{\mathbf{a}}_3=(5,7,7,8).\text{]}$

Построим ортогональную систему векторов $\text{(}{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\text{)}$, используя процесс Грама-Шмидта.

1. Первый ортогональный вектор $\text{(}{\mathbf{v}}_1\text{)}$

$\text{[}{\mathbf{v}}_1={\mathbf{a}}_1=(2,1,3,-1).\text{]}$

2. Второй ортогональный вектор $\text{(}{\mathbf{v}}_2\text{)}$

Используем формулу для ортогонализации:

$\text{[}{\mathbf{v}}_2={\mathbf{a}}_2-\frac{⟨{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{v}}_1⟩}{⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1⟩}{\mathbf{v}}_1,\text{]}$

где $\text{(}⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩\text{)}$ — скалярное произведение векторов.

1. Скалярное произведение $\text{(}⟨{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{v}}_1⟩\text{)}:$

   $\text{[}⟨{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{v}}_1⟩=1\cdot 2+1\cdot 1+(-6)\cdot 3+0\cdot (-1)=2+1-18=-15.\text{]}$

2. Скалярное произведение $\text{(}⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1⟩\text{)}:$

   $\text{[}⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1⟩=2^2+1^2+3^2+(-1{)}^2=4+1+9+1=15.\text{]}$

Таким образом, выражение для $\text{(}{\mathbf{v}}_2\text{)}$ становится:

$\text{[}{\mathbf{v}}_2={\mathbf{a}}_2-\frac{-15}{15}{\mathbf{v}}_1={\mathbf{a}}_2+{\mathbf{v}}_1.\text{]}$

Посчитаем:

$\text{[}{\mathbf{v}}_2=(1,1,-6,0)+(2,1,3,-1)=(3,2,-3,-1).\text{]}$

3. Третий ортогональный вектор $\text{(}{\mathbf{v}}_3\text{)}$

Теперь найдем $\text{(}{\mathbf{v}}_3\text{)}$ по формуле:

$\text{[}{\mathbf{v}}_3={\mathbf{a}}_3-\frac{⟨{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{v}}_1⟩}{⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1⟩}{\mathbf{v}}_1-\frac{⟨{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{v}}_2⟩}{⟨{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2⟩}{\mathbf{v}}_2.\text{]}$

1. Скалярное произведение $\text{(}⟨{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{v}}_1⟩\text{)}:$

   $\text{[}⟨{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{v}}_1⟩=5\cdot 2+7\cdot 1+7\cdot 3+8\cdot (-1)=10+7+21-8=30.\text{]}$

2. Скалярное произведение $\text{(}⟨{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2⟩\text{)}:$

   $\text{[}⟨{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2⟩=3^2+2^2+(-3{)}^2+(-1{)}^2=9+4+9+1=23.\text{]}$

Теперь вычитаем проекции:

$\text{[}{\mathbf{v}}_3=(5,7,7,8)-\frac{30}{15}(2,1,3,-1)-\frac{⟨{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{v}}_2⟩}{23}(3,2,-3,-1).\text{]}$

1. Рассчитаем первую проекцию:

$\text{[}\frac{30}{15}=2,2\cdot (2,1,3,-1)=(4,2,6,-2),\text{]}$

и вычтем из $\text{(}{\mathbf{a}}_3\text{)}$:

$\text{[}(5,7,7,8)-(4,2,6,-2)=(1,5,1,10).\text{]}$

2. Рассчитаем скалярное произведение $\text{(}⟨{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{v}}_2⟩\text{)}:$

$\text{[}⟨{\mathbf{a}}_3,{\mathbf{v}}_2⟩=5\cdot 3+7\cdot 2+7\cdot (-3)+8\cdot (-1)=15+14-21-8=0.\text{]}$

Проекция на $\text{(}{\mathbf{v}}_2\text{)}$ равна нулю, поэтому второй член в формуле исчезает, и финальный вектор $\text{(}{\mathbf{v}}_3\text{)}$ остаётся:

$\text{[}{\mathbf{v}}_3=(1,5,1,10).\text{]}$

Ответ:

Ортогональная система векторов:

$\text{[}{\mathbf{v}}_1=(2,1,3,-1),{\mathbf{v}}_2=(3,2,-3,-1),{\mathbf{v}}_3=(1,5,1,10).\text{]}$