Ортогонализация векторов с использованием процесса Грама-Шмидта

Эта задача относится к разделу линейной алгебры, а именно к теме "Ортогонализация векторов" с использованием процесса Грама-Шмидта.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта позволяет из набора линейно независимых векторов построить ортогональную (или ортонормированную, если нормализовать) систему векторов, натягивающую то же подпространство.

Итак, у нас есть три вектора: \[ \mathbf{a}_1 = (2, 1, 3, -1), \quad \mathbf{a}_2 = (1, 1, -6, 0), \quad \mathbf{a}_3 = (5, 7, 7, 8). \]

Построим ортогональную систему векторов \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\), используя процесс Грама-Шмидта.

1. Первый ортогональный вектор \(\mathbf{v}_1\)

\[ \mathbf{v}_1 = \mathbf{a}_1 = (2, 1, 3, -1). \]

2. Второй ортогональный вектор \(\mathbf{v}_2\)

Используем формулу для ортогонализации:

\[ \mathbf{v}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{\langle \mathbf{a}_2, \mathbf{v}_1 \rangle}{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle} \mathbf{v}_1, \]

где \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle\) — скалярное произведение векторов.

1. Скалярное произведение \(\langle \mathbf{a}_2, \mathbf{v}_1 \rangle\):

   \[ \langle \mathbf{a}_2, \mathbf{v}_1 \rangle = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (-6) \cdot 3 + 0 \cdot (-1) = 2 + 1 - 18 = -15. \]

2. Скалярное произведение \(\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle\):

   \[ \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle = 2^2 + 1^2 + 3^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 9 + 1 = 15. \]

Таким образом, выражение для \(\mathbf{v}_2\) становится:

\[ \mathbf{v}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{-15}{15} \mathbf{v}_1 = \mathbf{a}_2 + \mathbf{v}_1. \]

Посчитаем:

\[ \mathbf{v}_2 = (1, 1, -6, 0) + (2, 1, 3, -1) = (3, 2, -3, -1). \]

3. Третий ортогональный вектор \(\mathbf{v}_3\)

Теперь найдем \(\mathbf{v}_3\) по формуле:

\[ \mathbf{v}_3 = \mathbf{a}_3 - \frac{\langle \mathbf{a}_3, \mathbf{v}_1 \rangle}{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle} \mathbf{v}_1 - \frac{\langle \mathbf{a}_3, \mathbf{v}_2 \rangle}{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle} \mathbf{v}_2. \]

1. Скалярное произведение \(\langle \mathbf{a}_3, \mathbf{v}_1 \rangle\):

   \[ \langle \mathbf{a}_3, \mathbf{v}_1 \rangle = 5 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot (-1) = 10 + 7 + 21 - 8 = 30. \]

2. Скалярное произведение \(\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle\):

   \[ \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle = 3^2 + 2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 4 + 9 + 1 = 23. \]

Теперь вычитаем проекции:

\[ \mathbf{v}_3 = (5, 7, 7, 8) - \frac{30}{15} (2, 1, 3, -1) - \frac{\langle \mathbf{a}_3, \mathbf{v}_2 \rangle}{23} (3, 2, -3, -1). \]

1. Рассчитаем первую проекцию:

\[ \frac{30}{15} = 2, \quad 2 \cdot (2, 1, 3, -1) = (4, 2, 6, -2), \]

и вычтем из \(\mathbf{a}_3\):

\[ (5, 7, 7, 8) - (4, 2, 6, -2) = (1, 5, 1, 10). \]

2. Рассчитаем скалярное произведение \(\langle \mathbf{a}_3, \mathbf{v}_2 \rangle\):

\[ \langle \mathbf{a}_3, \mathbf{v}_2 \rangle = 5 \cdot 3 + 7 \cdot 2 + 7 \cdot (-3) + 8 \cdot (-1) = 15 + 14 - 21 - 8 = 0. \]

Проекция на \(\mathbf{v}_2\) равна нулю, поэтому второй член в формуле исчезает, и финальный вектор \(\mathbf{v}_3\) остаётся:

\[ \mathbf{v}_3 = (1, 5, 1, 10). \]

Ответ:

Ортогональная система векторов:

\[ \mathbf{v}_1 = (2, 1, 3, -1), \quad \mathbf{v}_2 = (3, 2, -3, -1), \quad \mathbf{v}_3 = (1, 5, 1, 10). \]