Определители и системы линейных уравнений

Определение предмета и раздела:

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Определители и системы линейных уравнений

Решение:

Дана система линейных уравнений:

 \begin{cases} x + 5y - z = 3, \ 2x + 4y - 3z = 2, \ 3x - y - 3z = -7 \end{cases} 

Главная матрица (матрица коэффициентов) этой системы:

 A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 \ 2 & 4 & -3 \ 3 & -1 & -3 \end{bmatrix} 

Определитель этой матрицы вычисляется по формуле:

 \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \ 2 & 4 & -3 \ 3 & -1 & -3 \end{vmatrix} 

Вычислим определитель по разложению по первой строке:

 \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \ -1 & -3 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \ 3 & -3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 3 & -1 \end{vmatrix} 

Теперь вычислим миноры:

 \begin{vmatrix} 4 & -3 \ -1 & -3 \end{vmatrix} = (4 \cdot (-3)) - (-3 \cdot (-1)) = -12 - 3 = -15 

 \begin{vmatrix} 2 & -3 \ 3 & -3 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-3)) - (-3 \cdot 3) = -6 + 9 = 3 

 \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1)) - (4 \cdot 3) = -2 - 12 = -14 

Подставляем в формулу:

 \det(A) = 1 \cdot (-15) - 5 \cdot (3) + (-1) \cdot (-14) 

 \det(A) = -15 - 15 + 14 = -16 

Ответ:

Определитель главной матрицы равен \det(A) = -16.