Определители и метод Крамера

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Определители и метод Крамера

Метод Крамера применим, если определитель основной матрицы системы не равен нулю. Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

 \begin{cases} -3x + \lambda y = 0, \ - y - 3z = -5, \ 3x - 2y = -7. \end{cases} 

Запишем матрицу коэффициентов:

 A = \begin{bmatrix} -3 & \lambda & 0 \ 0 & -1 & -3 \ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix} 

Вычислим определитель матрицы A:

 \det(A) = \begin{vmatrix} -3 & \lambda & 0 \ 0 & -1 & -3 \ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix} 

Разложим по первому столбцу:

 \det(A) = -3 \begin{vmatrix} -1 & -3 \ -2 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 0 \ -2 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 0 \ -1 & -3 \end{vmatrix} 

Вычислим миноры:

 \begin{vmatrix} -1 & -3 \ -2 & 0 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 0 - (-3) \cdot (-2) = -6 

 \begin{vmatrix} \lambda & 0 \ -1 & -3 \end{vmatrix} = \lambda \cdot (-3) - 0 \cdot (-1) = -3\lambda 

Подставляем:

 \det(A) = -3(-6) + 3(-3\lambda) = 18 - 9\lambda 

Для невозможности применения метода Крамера требуем, чтобы \det(A) = 0:

 18 - 9\lambda = 0 

Решаем уравнение:

 \lambda = \frac{18}{9} = 2 

Таким образом, система не решается методом Крамера при \lambda = 2.

Ответ: 2.