Определить значение α, при котором векторы будут перпендикулярными

Задание

Нам нужно определить значение \( \alpha \), при котором векторы \( a = \alpha\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k} \) и \( b = \{1; 5; -2\} \) будут перпендикулярными.

Раздел предмета

Данное задание относится к разделу аналитической геометрии и касается линейных операций над векторами.

Шаги решения

1. Условие перпендикулярности векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \]
2. Вычислим скалярное произведение векторов: Вектор \( a \) имеет координаты \( (\alpha, -3, 1) \), а вектор \( b \) имеет координаты \( (1, 5, -2) \). Формула для скалярного произведения векторов \( a \) и \( b \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] Подставляем значения координат: \[ \alpha \cdot 1 + (-3) \cdot 5 + 1 \cdot (-2) \]
3. Заполним и упростим выражение: \[ \alpha \cdot 1 + (-3) \cdot 5 + 1 \cdot (-2) = \alpha - 15 - 2 = \alpha - 17 \]
4. Приравняем скалярное произведение к нулю: \[ \alpha - 17 = 0 \]
5. Решаем уравнение: \[ \alpha = 17 \]

Ответ:

При значении \( \alpha = 17 \) векторы будут взаимно перпендикулярны.