Определить вектор, компоненты которого удовлетворяют двум условиям на скалярные произведения

Предмет и раздел: Это задание относится к предмету линейной алгебры, раздел операции с векторами. В частности, задание связано с понятием скалярного произведения векторов.

Пояснение задания:

Нам нужно определить вектор \(\vec{x} = \{x_1, x_2, x_3\}\), компоненты которого удовлетворяют двум условиям на скалярные произведения:

1. \((\vec{x}, \vec{a}) = -51\)
2. \((\vec{x}, \vec{b}) = 26\)

где \(\vec{a} = \{-2; 10; -1\}\) и \(\vec{b} = \{5; -5; 1\}\).

Шаги решения:

1. Запишем скалярное произведение для каждого условия.

• Для первого равенства \((\vec{x}, \vec{a}) = -51\): \[ x_1 \cdot (-2) + x_2 \cdot 10 + x_3 \cdot (-1) = -51 \] или, переписав: \[ -2x_1 + 10x_2 - x_3 = -51 \quad \text{(1)} \]
• Для второго равенства \((\vec{x}, \vec{b}) = 26\): \[ x_1 \cdot 5 + x_2 \cdot (-5) + x_3 \cdot 1 = 26 \] или, переписав: \[ 5x_1 - 5x_2 + x_3 = 26 \quad \text{(2)} \]

2. Составим систему уравнений:

Теперь у нас есть система двух уравнений:

3. Решим систему уравнений методом сложения.

Для этого сложим уравнение (1) и (2), чтобы избавиться от переменной \(x_3\). Добавляем обе стороны уравнений:

4. Найдем \(x_3\) из одного из уравнений.

Возьмем уравнение (2):

Выразим \(x_3\):

5. Выразим переменные \(x_1\) и \(x_2\) из уравнения (3).

Решим уравнение (3):

Выразим \(x_1\) через \(x_2\):

6. Подставим значения в выражение для \(x_3\) и решим систему.

Подставим выражение для \(x_1\) из уравнения (5) в уравнение (4). Теперь можно вычислить \(x_2\) и затем найти \(x_1\) и \(x_3\).