Это задание по линейной алгебре, а конкретнее по изучению свойств квадратичных форм, и требуется определить условия, при которых данная квадратичная форма является отрицательно определённой.

Давайте проведём анализ квадратичной формы: -x_1^2 + m x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3

Для определения отрицательной определённости квадратичной формы, необходимо:

1. Составить матрицу квадратичной формы.
2. Найти её главные миноры (миноры ведущих порядков).
3. Проверить условие отрицательной определённости через ведущие главным миноры (все главные миноры должны быть отрицательными).

Шаг 1: Составим матрицу квадратичной формы

Квадратичная форма выше соответствует следующей матрице A:

\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & m & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Шаг 2: Найдём главные миноры

Минор 1-го порядка: это элемент матрицы A_11, который равен -1.

Минор 2-го порядка: для верхнего левого 2x2 блока:

\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} = (-1) \cdot m - 1 \cdot 1 = -m - 1 = -(m + 1)

Минор 3-го порядка: это определитель всей матрицы:

\begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & m & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}

Рассчитаем:

-1 \cdot \begin{vmatrix} m & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ -1 & 0 \end{vmatrix}

= -1 \cdot (m \cdot 1 - 0) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0) - 1 \cdot (1 \cdot 0 -- (-1) \cdot m)

= -m - 1 - m

= -m - 1 - m = -2m - 1

Шаг 3: Проверим условия для отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, все главные миноры должны быть отрицательными:

1. Первый минор: -1 < 0 (всегда отрицательный)
2. Второй минор: -(m+1) < 0 → m > -1
3. Третий минор: -(2m + 1) < 0 → 2m + 1 > 0 → 2m > -1 → m > -\frac{1}{2}

Объединяя условия, получаем: m > -\frac{1}{2}

Ответ: Квадратичная форма -x_1^2 + m x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3 является отрицательно определённой, если m > -\frac{1}{2}.