Это задание по линейной алгебре, а конкретнее по изучению свойств квадратичных форм, и требуется определить условия, при которых данная квадратичная форма является отрицательно определённой.

Давайте проведём анализ квадратичной формы: $-x_1^2+m{x}_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3$

Для определения отрицательной определённости квадратичной формы, необходимо:

1. Составить матрицу квадратичной формы.
2. Найти её главные миноры (миноры ведущих порядков).
3. Проверить условие отрицательной определённости через ведущие главным миноры (все главные миноры должны быть отрицательными).

Шаг 1: Составим матрицу квадратичной формы

Квадратичная форма выше соответствует следующей матрице $A$:

$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 1& m& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

Шаг 2: Найдём главные миноры

Минор 1-го порядка: это элемент матрицы A_11, который равен -1.

Минор 2-го порядка: для верхнего левого 2x2 блока:

$\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& m\end{array}\right|=(-1)\cdot m-1\cdot 1=-m-1=-(m+1)$

Минор 3-го порядка: это определитель всей матрицы:

$\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 1& m& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right|$

Рассчитаем:

$-1\cdot \left|\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& 1\end{array}\right|-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right|-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& m\\ -1& 0\end{array}\right|$

$=-1\cdot (m\cdot 1-0)-1\cdot (1\cdot 1-0)-1\cdot (1\cdot 0--(-1)\cdot m)$

$=-m-1-m$

$=-m-1-m=-2m-1$

Шаг 3: Проверим условия для отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, все главные миноры должны быть отрицательными:

1. Первый минор: -1 < 0 (всегда отрицательный)
2. Второй минор: $-(m+1)<0$ → $m>-1$
3. Третий минор: $-(2m+1)<0$ → $2m+1>0$ → $2m>-1$ → $m>-\frac{1}{2}$

Объединяя условия, получаем: $m>-\frac{1}{2}$

Ответ: Квадратичная форма $-x_1^2+m{x}_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3$ является отрицательно определённой, если $m>-\frac{1}{2}$.