Определить условия, при которых квадратичная форма является отрицательно определённой

Условие:

Решение:

Это задание по линейной алгебре, а конкретнее по изучению свойств квадратичных форм, и требуется определить условия, при которых данная квадратичная форма является отрицательно определённой. Давайте проведём анализ квадратичной формы: \[ -x_1^2 + m x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3 \] Для определения отрицательной определённости квадратичной формы, необходимо: 1. Составить матрицу квадратичной формы. 2. Найти её главные миноры (миноры ведущих порядков). 3. Проверить условие отрицательной определённости через ведущие главным миноры (все главные миноры должны быть отрицательными). ### Шаг 1: Составим матрицу квадратичной формы Квадратичная форма выше соответствует следующей матрице \(A\): \[ \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & m & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ### Шаг 2: Найдём главные миноры **Минор 1-го порядка: это элемент матрицы A_11, который равен** -1. **Минор 2-го порядка: для верхнего левого 2x2 блока:** \[ \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} = (-1) \cdot m - 1 \cdot 1 = -m - 1 = -(m + 1) \] **Минор 3-го порядка: это определитель всей матрицы:** \[ \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & m & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] Рассчитаем: \[ -1 \cdot \begin{vmatrix} m & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \] \[ = -1 \cdot (m \cdot 1 - 0) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0) - 1 \cdot (1 \cdot 0 -- (-1) \cdot m) \] \[ = -m - 1 - m \] \[ = -m - 1 - m = -2m - 1 \] ### Шаг 3: Проверим условия для отрицательной определенности Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, все главные миноры должны быть отрицательными: 1. Первый минор: -1 < 0 (всегда отрицательный) 2. Второй минор: \(-(m+1)<0\) → \(m + 1 > 0\) → \(m > -1\) 3. Третий минор: \(-(2m + 1) < 0\) → \(2m + 1 > 0\) → \(2m > -1\) → \(m > -\frac{1}{2}\) Объединяя условия, получаем: \[ m > -\frac{1}{2} \] Этот условие должно выбираться для утверждения отрицательной определенности квадратичной формы. ### Ответ: Квадратичная форма \(-x_1^2 + m x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3\) является отрицательно определённой, если \(m > -\frac{1}{2}\).