Определить условие для параметра m, при котором квадратичная форма будет отрицательно определённой

Данная задача относится к разделу "Линейная алгебра" в предмете "Математика".

Основная цель - определить условие для параметра \( m \), при котором квадратичная форма будет отрицательно определённой. Квадратичная форма задана следующим выражением: \[ f(x_1, x_2, x_3) = -x_1^2 + m x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3. \] Для проверки, является ли квадратичная форма отрицательно определённой, можно воспользоваться матрицей квадратичной формы и исследовать её главные миноры.

Вывод матрицы квадратичной формы:

Квадратичная форма может быть представлена в виде: \[ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \] где \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) и \(A\) - симметричная матрица коэффициентов для квадратичной формы. Матрица \(A\) будет: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & m & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Главные миноры матрицы:

Проверим главные миноры матрицы \(A\). Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, матрица должна быть отрицательно определённой, что означает, что чередующиеся главные миноры должны быть отрицательными.

1. 1-й порядок (первый элемент матрицы \(A\)): \[ \Delta_1 = -1. \] Этот минор отрицателен.
2. 2-й порядок (матрица верхнего левого угла \(2 \times 2\)): \[ \Delta_2 = \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix} = (-1) \cdot m - 1 \cdot 1 = -m - 1. \] Для отрицательной определённости необходимо, чтобы \(\Delta_2\) был положителен: \[ -m - 1 > 0 \Rightarrow m < -1. \]
3. 3-й порядок (полная матрица \(A\)): \[ \Delta_3 = \det A = \det \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & m & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Используем разложение по элементам первого ряда: \[ \Delta_3 = -1 \cdot \begin{vmatrix} m & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ -1 & 0 \end{vmatrix}. \] Вычислим определители: \[ \begin{vmatrix} m & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = m \cdot 1 - 0 \cdot 0 = m, \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) = 1, \] \[ \begin{vmatrix} 1 & m \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - m \cdot (-1) = m. \] Теперь подставим их в разложение: \[ \Delta_3 = -1 \cdot m - 1 \cdot 1 - 1 \cdot m = -m - 1 - m = -2m - 1. \] Для отрицательной определённости необходимо, чтобы \(\Delta_3\) был отрицателен: \[ -2m - 1 < 0 \Rightarrow -2m < 1 \Rightarrow m > -\frac{1}{2}. \]

Итак, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, нужно, чтобы одновременно выполнялось \( m < -1 \) и \( m > -\frac{1}{2} \). Однако данных условий одновременно не может быть выполнено, из чего следует логический вывод, что заданная квадратичная форма не может быть отрицательно определённой для никакого значения параметра \( m \).