Определить угол между векторами. Ответ указать в градусах

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Векторы в пространстве

Для определения угла между векторами ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) используется формула:

 \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}, 

где:

• ( \vec{a} \cdot \vec{b} ) — скалярное произведение векторов,
• ( |\vec{a}| ) и ( |\vec{b}| ) — длины векторов.

Шаг 1. Найдём скалярное произведение ( \vec{a} \cdot \vec{b} )

Даны векторы:  \vec{a} = -\vec{i} + \vec{j}, \quad \vec{b} = \vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}. 

Скалярное произведение:  \vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-2) + (0)(2) = -1 - 2 + 0 = -3. 

Шаг 2. Найдём длины векторов ( |\vec{a}| ) и ( |\vec{b}| )

Длина вектора вычисляется по формуле:  |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}. 

Для ( \vec{a} = -\vec{i} + \vec{j} ):  |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}. 

Для ( \vec{b} = \vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k} ):  |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3. 

Шаг 3. Найдём ( \cos \theta )

Подставляем значения в формулу:  \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}. 

Шаг 4. Найдём угол ( \theta )

Используем обратную функцию косинуса:  \theta = \arccos \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right). 

Значение:  \arccos \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) = 135^\circ. 

Ответ:

135^\circ