Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Определение предмета и раздела

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение задачи

Нам дана матрица оператора:

 A = \begin{pmatrix} -1 & -6 \ 2 & 6 \end{pmatrix} 

Необходимо найти собственные векторы этой матрицы.

1. Найдём собственные значения

Собственные значения \lambda находятся из уравнения:

 \det(A - \lambda I) = 0 

Где I — единичная матрица:

 \begin{vmatrix} -1 - \lambda & -6 \ 2 & 6 - \lambda \end{vmatrix} = 0 

Вычислим определитель:

 (-1 - \lambda)(6 - \lambda) - (-6) \cdot 2 = 0 

 (-1 - \lambda)(6 - \lambda) + 12 = 0 

 -6 + \lambda -6\lambda + \lambda^2 + 12 = 0 

 \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 

Решим квадратное уравнение:

 \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 

Отсюда \lambda_1 = 2 и \lambda_2 = 3.

2. Найдём собственные векторы

Для каждого \lambda решаем систему (A - \lambda I) x = 0.

Для \lambda_1 = 2:

 A - 2I = \begin{pmatrix} -3 & -6 \ 2 & 4 \end{pmatrix} 

Решаем систему \begin{pmatrix} -3 & -6 \ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}:

Из первого уравнения:

 -3x_1 - 6x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2x_2 

Выбираем x_2 = 1, тогда x_1 = -2.

Собственный вектор:

 v_1 = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \end{pmatrix} 

Для \lambda_2 = 3:

 A - 3I = \begin{pmatrix} -4 & -6 \ 2 & 3 \end{pmatrix} 

Решаем систему \begin{pmatrix} -4 & -6 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}:

Из первого уравнения:

 -4x_1 - 6x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -\frac{3}{2}x_2 

Выбираем x_2 = 2, тогда x_1 = -3.

Собственный вектор:

 v_2 = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \end{pmatrix} 

Ответ

Собственные значения: \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3.
Собственные векторы:

 v_1 = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \end{pmatrix}