Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Определение предмета и раздела

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение задачи

Нам дана матрица оператора:

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -62& 6\end{array}\right)$

Необходимо найти собственные векторы этой матрицы.

1. Найдём собственные значения

Собственные значения $\lambda$ находятся из уравнения:

$det(A-\lambda I)=0$

Где $I$ — единичная матрица:

$\left|\begin{array}{ccc}-1-\lambda & -62& 6-\lambda \end{array}\right|=0$

Вычислим определитель:

$(-1-\lambda )(6-\lambda )-(-6)\cdot 2=0$

$(-1-\lambda )(6-\lambda )+12=0$

$-6+\lambda -6\lambda +{\lambda }^2+12=0$

${\lambda }^2-5\lambda +6=0$

Решим квадратное уравнение:

${\lambda }^2-5\lambda +6=(\lambda -2)(\lambda -3)=0$

Отсюда ${\lambda }_1=2$ и ${\lambda }_2=3$.

2. Найдём собственные векторы

Для каждого $\lambda$ решаем систему $(A-\lambda I)x=0$.

Для ${\lambda }_1=2$:

$A-2I=\left(\begin{array}{ccc}-3& -62& 4\end{array}\right)$

Решаем систему $\left(\begin{array}{ccc}-3& -62& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}00\end{array}\right)$:

Из первого уравнения:

$-3x_1-6x_2=0\Rightarrow x_1=-2x_2$

Выбираем $x_2=1$, тогда $x_1=-2$.

Собственный вектор:

$v_1=\left(\begin{array}{c}-21\end{array}\right)$

Для ${\lambda }_2=3$:

$A-3I=\left(\begin{array}{ccc}-4& -62& 3\end{array}\right)$

Решаем систему $\left(\begin{array}{ccc}-4& -62& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}00\end{array}\right)$:

Из первого уравнения:

$-4x_1-6x_2=0\Rightarrow x_1=-\frac{3}{2}{x}_2$

Выбираем $x_2=2$, тогда $x_1=-3$.

Собственный вектор:

$v_2=\left(\begin{array}{c}-32\end{array}\right)$

Ответ

Собственные значения: ${\lambda }_1=2$, ${\lambda }_2=3$.
Собственные векторы:

$v_1=\left(\begin{array}{c}-21\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}-32\end{array}\right)$