Определить ранг матрицы квадратичной формы

Это задание из линейной алгебры, а конкретно — из раздела, связанного с квадратными формами и матрицами.

Нам нужно определить ранг матрицы квадратичной формы (x_1, x_2)\begin{pmatrix}2 & 3\\4 & 1\end{pmatrix}(x_1, x_2)^T.

1. Запишем матрицу квадратичной формы: A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
2. Найдем определитель матрицы A: \det(A) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 4 = 2 - 12 = -10

   Поскольку определитель не равен нулю, матрица A имеет полный ранг, т.е. ранг равен размерности матрицы, которая в данном случае равна 2.

3. Проверяем шаги для убеждения:
   • Если определитель матрицы 2 \times 2 не равен нулю, матрица невырожденная, значит, её ранг равен 2.

   Итак, делаем вывод, что ранг матрицы равен 2.

Ответ: 2.