Определить ранг квадратичной формы

Давайте решим задачу.

У нас задана следующая квадратичная форма: \[ -x_1^2 + x_2^2 - 9x_3^2 + 6x_1x_2 + 6x_1x_3 \] Чтобы определить ранг квадратичной формы, нужно построить матрицу Грама этой формы и найти ранг этой матрицы. Квадратичная форма может быть представлена в матричном виде как: \[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] где \(\mathbf{x}\) — это вектор переменных \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\), а \(A\) — симметричная матрица.

Построим матрицу \(A\) соответствующую данной квадратичной форме: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -9 \end{pmatrix} \] Теперь найдем ранг этой матрицы.

1. Начинаем с полной матрицы \(3 \times 3\): \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -9 \end{pmatrix} \]
2. Вычислим определитель этой матрицы. Если определитель отличен от нуля, то ранг матрицы равен 3. \[ \text{det}(A) = -1 \cdot (1 \cdot (-9) - 0 \cdot 0) - 3 \cdot (3 \cdot (-9) - 3 \cdot 0) + 3 \cdot (3 \cdot 0 - 1 \cdot 3) \] \[ = (-1)(-9) - 3(3 \cdot (-9)) + 3(0 - 3) \] \[ = 9 + 81 - 9 \] \[ = 81 \] Так как определитель ненулевой (\(\text{det}(A) = 81 \ne 0\)), то ранг матрицы равен 3.

Ответ: 3