Определить, при каком значении параметра ранг матрицы A равен 2

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Ранг матрицы

Необходимо определить, при каком значении параметра \lambda ранг матрицы A равен 2.

Матрица задана как:

 A = \begin{pmatrix} \lambda & 5\lambda & -1 \ 2\lambda & \lambda & 10 \ -1 & -2\lambda & -3 \end{pmatrix}. 

Шаг 1. Условие для ранга матрицы

Ранг матрицы равен 2, если:

1. Существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка.
2. Все миноры третьего порядка (определитель матрицы) равны нулю.

Шаг 2. Найдем определитель матрицы A

Определитель матрицы третьего порядка можно найти по правилу Саррюса:

 \text{det}(A) = \begin{vmatrix} \lambda & 5\lambda & -1 \ 2\lambda & \lambda & 10 \ -1 & -2\lambda & -3 \end{vmatrix}. 

Раскроем определитель:

 \text{det}(A) = \lambda \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 10 \ -2\lambda & -3 \end{vmatrix} - 5\lambda \cdot \begin{vmatrix} 2\lambda & 10 \ -1 & -3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2\lambda & \lambda \ -1 & -2\lambda \end{vmatrix}. 

Шаг 3. Вычислим миноры второго порядка

1. Первый минор:
    \begin{vmatrix} \lambda & 10 \ -2\lambda & -3 \end{vmatrix} = \lambda \cdot (-3) - (-2\lambda) \cdot 10 = -3\lambda + 20\lambda = 17\lambda. 

2. Второй минор:
    \begin{vmatrix} 2\lambda & 10 \ -1 & -3 \end{vmatrix} = 2\lambda \cdot (-3) - (-1) \cdot 10 = -6\lambda + 10 = -6\lambda + 10. 

3. Третий минор:
    \begin{vmatrix} 2\lambda & \lambda \ -1 & -2\lambda \end{vmatrix} = 2\lambda \cdot (-2\lambda) - (-1) \cdot \lambda = -4\lambda^2 + \lambda = -4\lambda^2 + \lambda. 

Шаг 4. Подставим значения в определитель

 \text{det}(A) = \lambda \cdot (17\lambda) - 5\lambda \cdot (-6\lambda + 10) + (-1) \cdot (-4\lambda^2 + \lambda). 

Раскроем скобки:

 \text{det}(A) = 17\lambda^2 + 30\lambda^2 - 50\lambda + 4\lambda^2 - \lambda. 

Соберем подобные:

 \text{det}(A) = (17\lambda^2 + 30\lambda^2 + 4\lambda^2) + (-50\lambda - \lambda) = 51\lambda^2 - 51\lambda. 

Вынесем 51\lambda за скобки:

 \text{det}(A) = 51\lambda (\lambda - 1). 

Шаг 5. Условие равенства ранга 2

Для ранга 2 определитель должен быть равен 0:

 \text{det}(A) = 51\lambda (\lambda - 1) = 0. 

Решим уравнение:

 \lambda = 0 \quad \text{или} \quad \lambda = 1. 

Шаг 6. Проверка миноров второго порядка

Если \lambda = 0, то матрица становится:

 A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 10 \ -1 & 0 & -3 \end{pmatrix}. 

Миноры второго порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы будет равен 1.

Если \lambda = 1, то матрица становится:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \ 2 & 1 & 10 \ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}. 

Проверим миноры второго порядка. Например:

 \begin{vmatrix} 1 & 5 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 5 \cdot 2 = -9 \neq 0. 

Таким образом, при \lambda = 1 ранг матрицы равен 2.

Ответ:

Ранг матрицы равен 2 при \lambda = 1.