Определить, при каких значениях квадратичная форма положительно определена

Условие:

Выполни задание

Решение:

Этот вопрос принадлежит к математике, а более конкретно к линейной алгебре, разделу "квадратичные формы". Дано: \[ f(x_1, x_2, x_3) = 7x_1^2 + 7x_2^2 + 7x_3^2 + 2x_1x_2 + 2\lambda x_2x_3 \] Задание: определить, при каких значениях \(\lambda\) эта квадратичная форма положительно определена. Квадратичная форма может быть записана в виде: \[ f(x) = x^T A x \] где \(x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\), а \(A\) — симметричная матрица коэффициентов. Для данного случая матрица \(A\) следующая: \[ A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 0 \\ 1 & 7 & \lambda \\ 0 & \lambda & 7 \end{pmatrix} \] Чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо, чтобы все главные миноры матрицы \(A\) были положительными. Проверим это. 1. Первый главный минор — это верхний левый элемент матрицы: \[ \Delta_1 = 7 \] \[ \Delta_1 > 0 \] 2. Второй главный минор: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 7 \cdot 7 - 1 \cdot 1 = 49 - 1 = 48 \] \[ \Delta_2 > 0 \] 3. Третий главный минор (детерминант всей матрицы): \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 0 \\ 1 & 7 & \lambda \\ 0 & \lambda & 7 \end{vmatrix} \] Раскроем этот определитель по первой строке: \[ \Delta_3 = 7 \cdot \begin{vmatrix} 7 & \lambda \\ \lambda & 7 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 7 \end{vmatrix} \] Рассчитаем определители второго порядка: \[ \begin{vmatrix} 7 & \lambda \\ \lambda & 7 \end{vmatrix} = 7 \cdot 7 - \lambda \cdot \lambda = 49 - \lambda^2 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 - \lambda \cdot 0 = 7 \] Таким образом: \[ \Delta_3 = 7(49 - \lambda^2) - 1 \cdot 7 = 343 - 7\lambda^2 - 7 = 336 - 7\lambda^2 \] \[ \Delta_3 = 336 - 7\lambda^2 \] Для положительной определенности формы \(\Delta_3 > 0\): \[ 336 - 7\lambda^2 > 0 \] \[ 336 > 7\lambda^2 \] \[ 48 > \lambda^2 \] \[ \lambda^2 < 48 \] \[ -\sqrt{48} < \lambda < \sqrt{48} \] \[ -4\sqrt{3} < \lambda < 4\sqrt{3} \] Следовательно, квадратичная форма положительно определена при значениях \(\lambda\) в интервале \((-4\sqrt{3}, 4\sqrt{3})\).