Определить, при каких значениях квадратичная форма положительно определена

Этот вопрос принадлежит к математике, а более конкретно к линейной алгебре, разделу "квадратичные формы".

Дано: \[ f(x_1, x_2, x_3) = 7x_1^2 + 7x_2^2 + 7x_3^2 + 2x_1x_2 + 2\lambda x_2x_3 \]

Задание: определить, при каких значениях \(\lambda\) эта квадратичная форма положительно определена.

Квадратичная форма может быть записана в виде: \[ f(x) = x^T A x \]

где \(x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\), а \(A\) — симметричная матрица коэффициентов. Для данного случая матрица \(A\) следующая: \[ A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 0 \\ 1 & 7 & \lambda \\ 0 & \lambda & 7 \end{pmatrix} \]

Чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо, чтобы все главные миноры матрицы \(A\) были положительными.

Проверим это.

1. Первый главный минор — это верхний левый элемент матрицы: \[ \Delta_1 = 7 \] \[ \Delta_1 > 0 \]
2. Второй главный минор: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 7 \cdot 7 - 1 \cdot 1 = 49 - 1 = 48 \] \[ \Delta_2 > 0 \]
3. Третий главный минор (детерминант всей матрицы): \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 0 \\ 1 & 7 & \lambda \\ 0 & \lambda & 7 \end{vmatrix} \]

   Раскроем этот определитель по первой строке: \[ \Delta_3 = 7 \cdot \begin{vmatrix} 7 & \lambda \\ \lambda & 7 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 7 \end{vmatrix} \]

   Рассчитаем определители второго порядка: \[ \begin{vmatrix} 7 & \lambda \\ \lambda & 7 \end{vmatrix} = 7 \cdot 7 - \lambda \cdot \lambda = 49 - \lambda^2 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 - \lambda \cdot 0 = 7 \]

   Таким образом: \[ \Delta_3 = 7(49 - \lambda^2) - 1 \cdot 7 = 343 - 7\lambda^2 - 7 = 336 - 7\lambda^2 \] \[ \Delta_3 = 336 - 7\lambda^2 \]

   Для положительной определенности формы \(\Delta_3 > 0\):

   \[ 336 - 7\lambda^2 > 0 \]

   \[ 336 > 7\lambda^2 \]

   \[ 48 > \lambda^2 \]

   \[ \lambda^2 < 48 \]

   \[ -\sqrt{48} < \lambda < \sqrt{48} \]

   \[ -4\sqrt{3} < \lambda < 4\sqrt{3} \]

   Следовательно, квадратичная форма положительно определена при значениях \(\lambda\) в интервале (-4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}).