Предмет: Математика Раздел: Векторная алгебра Задача: Найти значения параметра \(\alpha\), при которых векторы \( \vec{a} + \alpha \vec{b} \) и \( \vec{a} - \alpha \vec{b} \) перпендикулярны.
Шаг 1: Условие перпендикулярности
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
\[ (\vec{a} + \alpha \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \alpha \vec{b}) = 0 \]
Шаг 2: Вычисление скалярного произведения
Используем свойство дистрибутивности для скалярного произведения:
\[ (\vec{a} + \alpha \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \alpha \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \alpha \vec{b} \cdot \vec{a} - \alpha^2 \vec{b} \cdot \vec{b} \]
Заметим, что \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\), поэтому:
\[ \vec{a} \cdot \vec{a} - \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} - \alpha^2 \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \alpha^2 \vec{b} \cdot \vec{b} \]
Шаг 3: Упрощение
Так как \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1\) (по условию вектор \(\vec{a}\) имеет длину 1) и \(\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 4\) (поскольку длина \(\vec{b}\) равна 2), запишем:
\[ 1 - 4\alpha^2 = 0 \]
Шаг 4: Решение уравнения
Решим уравнение:
\[ 1 = 4\alpha^2 \]
\[ \alpha^2 = \frac{1}{4} \]
\[ \alpha = \pm \frac{1}{2} \]
Ответ
Векторы \( \vec{a} + \alpha \vec{b} \) и \( \vec{a} - \alpha \vec{b} \) будут перпендикулярны при значениях \(\alpha = \pm \frac{1}{2}\).