Определить правильное утверждение про взаимное расположение векторов

Задание относится к предмету линейная алгебра, а именно к разделу, который изучает векторы и их взаимное расположение.

Дано:

Векторы: \[ \mathbf{a} = (2; -1; 0) \]
\[ \mathbf{b} = (1; -1; 3) \]

Нужно определить правильное утверждение про взаимное расположение векторов.

Шаг 1. Проверка на перпендикулярность

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Формула для скалярного произведения двух векторов \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

Для наших векторов: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 3 \]
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 + 1 + 0 = 3 \]

Скалярное произведение не равно нулю, значит векторы не перпендикулярны.

Шаг 2. Определение угла между векторами

Для того чтобы понять, острый ли угол между векторами, нужно использовать факты о величине скалярного произведения.

Скалярное произведение связано с косинусом угла \(\theta\) между векторами формулой: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \]

Где \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) — длины векторов, \(\cos{\theta}\) — косинус угла между ними.

Длина вектора вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \]

Для \(\mathbf{a}\): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} \]

Для \(\mathbf{b}\): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} \]

Теперь можно выразить косинус угла: \[ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{55}} \]

Поскольку \(\cos{\theta} > 0\), угол между векторами острый.

Шаг 3. Проверка на коллинеарность и компланарность

Векторы коллинеарны, если один можно получить из другого умножением на скаляр, то есть они должны быть пропорциональны. Здесь явно не видно пропорциональности между соответствующими координатами, следовательно, векторы не коллинеарны.

Векторы компланарны, если они лежат в одной плоскости. Два любых вектора в любом случае лежат в какой-то плоскости, так что в данном контексте это верное утверждение. Но нам нужно найти единственно верное утверждение.

Ответ:

• Пункт b – угол между векторами острый.