Определить нейтральный элемент по сложению для многочленов

Это задание по математике, а тема относится к "Многочленам" и "Подобию алгебраических структур" (понятие нейтрального элемента).

Здесь нужно определить нейтральный элемент по сложению для многочленов, а также выбрать верные утверждения. Рассмотрим каждый из пунктов.

Нейтральный элемент по сложению:

Нейтральный элемент по сложению — такой элемент, который при сложении с любым другим элементом возвращает этот элемент. Для многочленов это многочлен, коэффициенты которого равны 0, то есть так называемый "нулевой многочлен" \( o(x) = 0 \).

Теперь рассмотрим каждое утверждение:

1. "Многочлен, все коэффициенты которого равны 0"

   Это утверждение верное, так как нулевой многочлен \( o(x) = 0 \) действительно является нейтральным элементом для сложения любого многочлена. Если \( f(x) \) — многочлен, то \( f(x) + o(x) = f(x) \).

2. "Удовлетворяет равенству \( f(x) + o(x) = o(x) + f(x) \) для всех многочленов \( f(x) \)"

   Это также верное утверждение. Нулевой многочлен коммутирует с любым другим многочленом при сложении: \( f(x) + o(x) = f(x) \) и \( o(x) + f(x) = f(x) \), так что \( f(x) + o(x) = o(x) + f(x) \).

3. "Многочлен, старший коэффициент которого равен 0"

   Это неверное утверждение. Старший коэффициент у нулевого многочлена просто отсутствует, так как он не имеет членов вообще. Если многочлен имеет старший коэффициент равный 0, это не обязательно означает, что многочлен является нулевым; пример — любой многочлен низшей степени.

4. "Многочлен нулевой степени"

Верные утверждения:

• Многочлен, все коэффициенты которого равны 0.
• Удовлетворяет равенству \( f(x) + o(x) = o(x) + f(x) \) для всех многочленов \( f(x) \).

Это неверное утверждение. Многочлен нулевой степени \( c \), где \( c \neq 0 \), является константным многочленом, но не нулевым многочленом. Нулевой многочлен \( o(x) = 0 \) не имеет степени, он не является многочленом какой-либо степени.