Определить, может ли данная матрица M быть матрицей Грама и последовательно решить два подзадания

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрица Грама, Скалярное произведение.

Задание: Необходимо определить, может ли данная матрица \(M\) быть матрицей Грама и последовательно решить два подзадания.

Часть 1: Проверка, может ли матрица \( M \) быть матрицей Грама

Матрица Грама — это симметрическая матрица вида \( G = A^T A \), где \( A \) — произвольная матрица, столбцы которой должны быть линейно независимы. Для матрицы Грама основное свойство — это симметричность, то есть \(G^T = G\).

Задана матрица \( M \):

\[ M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Для того чтобы матрица \(M\) могла быть матрицей Грама, она должна быть симметричной. То есть, нужно проверить, что все элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны:

Проверим:

• \( M_{12} = 1 \) и \( M_{21} = 1 \) — совпадают,
• \( M_{13} = -2 \) и \( M_{31} = -2 \) — совпадают,
• \( M_{23} = -1 \) и \( M_{32} = -1 \) — совпадают.

Так как \(M = M^T\), то матрица \(M\) является симметричной. Следовательно, матрица \( M \) может являться матрицей Грама, то есть набором скалярных произведений некоторого набора векторов.

Часть 2: Вычисление скалярного произведения \(a \cdot b\)

Заданы два вектора:

\[ a = (1, -2, 2) \]

\[ b = (2, -3, 0) \]

Формула для скалярного произведения двух векторов:

\[ a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Подставим значения:

\[ a \cdot b = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) + 2 \cdot 0 \]

\[ a \cdot b = 2 + 6 + 0 = 8 \]

Ответ: скалярное произведение \(a \cdot b = 8\).

Часть 3: Вычисление выражения

Нам нужно найти значение выражения:

\[ |e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2 - e_2 \cdot e_3 - \cos(e_1, e_2) \]

Рассмотрим каждый элемент отдельно:

1. \( |e_1|^2 \) — это квадрат длины вектора \( e_1 \). Если длина вектора равна \( |e_1| \), то его квадрат: \[ |e_1|^2 = (e_1^T e_1) \]. То же самое выполняется для \( e_2 \) и \( e_3 \).
2. \( e_2 \cdot e_3 \) — это скалярное произведение векторов \( e_2 \) и \( e_3 \).
3. \( \cos(e_1, e_2) \) — это косинус угла между векторами \( e_1 \) и \( e_2 \), который можно найти по формуле: \[ \cos(e_1, e_2) = \frac{e_1 \cdot e_2}{|e_1| |e_2|} \].

Для получения конкретного численного результата недостаточно информации о компонентах векторов \( e_1 \), \( e_2 \), \( e_3 \). Но при наличии их значений все вычисления сводятся к применению базовых операций со скалярными произведениями и длинами векторов.

Вывод:

Мы проверили, что матрица \( M \) может быть матрицей Грама, а также вычислили скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\) — \(a \cdot b = 8\).